德國數學家 Ingo Ullisch 破解誕生 270 多年的「山羊問題」，求出閉式解。

我們先來看一個「簡單」的問題：假如圓形籬笆圍出一英畝草地，將一只山羊拴在籬笆內，你需要用多長的繩子才能讓羊吃到半英畝的草？

這看起來像高中幾何題，但事實上 270 多年來，許多數學家和數學愛好者都在思考這個問題及其不同形式。他們成功解決了一些版本，但也只是模糊的不完備的答案。

數學家 Mark Meyerson 曾表示：「沒人知道這個基礎原始問題的確切答案，目前給出的都是近似解。」

但在今年初，德國數學家 Ingo Ullisch 最終破解了這一問題，得出了首個精確解。數學家 Michael Harrison 表示：「我認為這是首個繩長的顯示表達式，這當然是進步。」

Ingo Ullisch 使用復分析求出了山羊問題的精確解。

Ullisch 表示，這并未顛覆教科書或改革數學研究，因為這只是個孤立的問題。但即使這樣的有趣問題也可能帶來新的數學想法，幫助研究人員提出解決其他問題的新方法。

有趣的「山羊問題」

這個問題的第一個版本出現在 1748 年的倫敦期刊《The Ladies Diary: Or, The Woman’s Almanack》上。

當時的問題情境是「拴馬」：將馬拴在圓形籬笆外面，如果繩長和籬笆周長相等，那么馬能吃到的最大面積是多少？這個問題版本后來被分類為「外部問題」，因為該問題中馬在「圓形籬笆外面」。

該期刊次年刊登了一份來自「Mr. Heath」的答案。Heath 通過「試驗和對數表」得出了結論——100 碼的繩子，76,257.86 平方碼的面積（繩長約 91.44 米，面積約 63,761.28 平方米）。

但這是近似解而非精確解。我們可以通過一個例子來了解二者的區別：設公式 x^2 ? 2 = 0，可以得出近似數值解 x = 1.4142，但這并不準確，無法等同于精確解 x = √2。

1894 年，這個問題在《美國數學月刊》第一期中再次出現，并被改寫為最初的「籬笆內吃草問題」。這被分類為「內部問題」。Ullisch 認為內部問題比外部問題難度更大。外部問題是已知圓半徑和繩長，求吃草面積，這可以通過積分來解決；而內部問題則相反，給出面積求繩長，要復雜得多。

山羊吃草問題有兩種形式。內部問題是給出吃草面積求繩長，外部問題是給出繩長和籬笆周長求吃草面積（繩長等于籬笆周長）。

接下來的幾十年里，《美國數學月刊》刊登了該內部問題的多個變體，主角大部分是馬偶爾是騾子，籬笆有時是圓的，有時是方的，還有橢圓的。到了 1960 年代，山羊逐漸取代了馬的位置，成為該問題的主角。

1984 年，數學家 Marshall Fraser 創造性地將這一問題從草地擴展到了更廣闊的區域。他求出了允許山羊在 n 維球面一半體積中吃草所需的繩長（n 趨向于無窮大）。Meyerson 發現了其中的邏輯錯誤并糾正，得到了相同的結論：隨著 n 趨向于無窮大，繩長和半徑的比接近√2。

Meyerson 表示，這種表示該問題的方式看似更復雜了（多維空間而不是草地），但實際上卻讓求解的過程更簡單了。「在無窮維中，我們有清晰的答案，而在二維中并沒有這樣明確的解。」

1998 年，美國海軍學院教授、數學家 Michael Hoffman 將外部問題擴展到了不同的方向。他看到的外部問題是「將牛拴在圓形牛欄外面，牛可以吃到多少面積的草？」，Hoffman 將原本問題中的圓形擴展到平滑的凸曲線，包括橢圓甚至非封閉曲線。

Hoffman 假定該問題中繩長（長度為 L）小于或等于曲線的周長。他首先繪制曲線上拴牛點的切線，牛可以在切線范圍內 πL^2/2 的半圓區域內吃草；然后針對切線和曲線間的空間求得精確積分解，從而確定吃草面積。

最近，英國蘭卡斯特大學數學家 Graham Jameson 和其子 Nicholas 求出了內部問題三維版本的解。Graham 表示：「三維問題比二維問題簡單一些。」

利用復分析，求出「山羊問題」閉式解

然而，1894 年出現的二維內部問題仍未出現精確解，直到 Ingo Ullisch 今年初在期刊 Mathematical Intelligencer 上發表了一篇論文。

論文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s00283-020-09966-0?shared-article-renderer

Ullisch 第一次聽到山羊問題是在 2001 年，當時他還是個孩子。2017 年，在獲得了德國明斯特大學博士學位后，他開始研究這個問題。他想嘗試一種新方法。

當時大家都知道，山羊問題可以被簡化為一個超越方程（transcendental equation），包含正弦、余弦等三角函數項。和很多棘手的超越方程一樣，這會帶來障礙，例如 x = cos(x) 沒有精確解。

Ullisch 將這個問題設置為較易處理的超越方程：sin(β) – β cos(β) ? π/2 = 0。盡管這個方程看起來也挺難，但他認為可以使用復分析來解決。復分析是對包含復數的表達式使用分析工具的數學分支，已經誕生好幾個世紀，但 Ullisch 是第一個使用復分析解決山羊問題的人。

通過這一策略，Ullisch 將超越方程轉換為「繩長允許山羊在圈場一半面積內吃草」的等效表達式。也就是說，他最終用準確的數學形式回答了這一問題。

但這個回答存在一個問題，就是其復雜度不像 √2 那么簡單，它更加深奧。

不過，Ullisch 仍然看到了精確解的價值，即使它沒有那么簡潔。「如果只有數值解（或近似解），那么我們將永遠無法了解其解的內在本質。而數學公式可以讓我們進一步探究解的構成。」

Ullisch 目前沒有研究山羊問題，因為不知道該如何繼續。但其他數學家還在繼續探求其他解法，例如 Harrison 即將在《數學雜志》上發表相關論文。Harrison 表示：「直覺告訴我，山羊問題不可能帶來數學突破，但是誰知道呢。新的數學可能來自各個地方。」

Hoffman 則更加樂觀。他認為：「數學領域中的進展并非都來自做出基礎突破的人，有時候也包括探究經典方法并從中找出新的角度，這種新方式可能最終帶來新的結果。」

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematician-solves-centuries-old-grazing-goat-problem-exactly-20201209/