本文提取直線的幾種方法對比

直接法速度最快，但伴隨矩陣法最穩定。實踐中推薦用伴隨矩陣法。

圖4：高斯核平滑直方圖，在無噪聲數據上運行 100,000 次運行的旋轉和平移誤差之和。測量估計和GT之間誤差的 L1 范數。

可以看到所有方法的都是數值穩定的。Nakano(rp)表示帶root polishing(利用Gauss-Newton方法優化根)，該方法更多的分布在小誤差范圍。

表2：誤差的平均值、中位數和最大值。粗體表示最好的結果

本文提出的求解器在均值誤差和最大誤差上的性能最好，而Nakano(rp)求解器在中值誤差上的性能最好。請注意，基于四次的求解器包含的失敗案例，在此實驗中是刪除了的。

表3：與SOTA求解器對比

本文的求解器優于現有的方法。對于幾乎所有的試驗，都能找到好的解和GT，沒有重復或錯誤的解。基于四次方程的Ke等人和Kneip等人的方法有很多重復解和錯誤解。因為他們用了四次方程的所有4個根(忽略虛部)來找到可能的估計，提高找到GT的可能性是可以的，但會損失其效率，因為實踐中每個假設需要用RANSAC進行評估。Nakano求解器用的虛部閾值過濾不必要的復根，但結果沒有本文的方法好。Ke等人與Kneip等人的方法也能夠用類似的閾值過濾四次方程的根，從而減少重復和錯誤解。

表4：平均運行時間對比，次嘗試，每個嘗試100次

基于三次方程的求解器比基于四次方程的要更高效，所提出的求解器比SOTA方法快15.4%，加速主要原因有兩個：

• 基于相對位置和判別式的分析，可以快速選擇三次方程的穩定根，根據判別式的符號可以避免沒必要的計算。
• 從退化圓錐曲線中恢復直線的方法比Persson等人的方法更高效。 本文用C++復現的Nakano方法比原始的MATLAB實現慢，可能是用了不同的矩陣計算庫導致的。

Persson等人的方法在沒有解的情況下，其判別式非常接近于0。這是因為判別式為0對應于圖3中的(d)-(h)這些臨界情況，由于浮點數的舍入誤差和數值不穩定性，這些情況下很難恢復運動參數。本文發現大多數失敗案例是(d)和(f)的情形，(e)(g)(h)很少發生。

圖5：危險圓柱是指三個3D點A,B,C為圓形環繞點的圓柱，其軸垂直于ABC平面

之前有工作指出，如果光心位于危險圓柱的表面，則P3P問題的解不穩定。本文發現危險圓柱會導致判別式，即對應于圖3中的臨界情形。

本文重新審視了 P3P 問題，特別是研究了基于兩個圓錐曲線相交的解法，類似于 Persson 和 Nordberg的方法。通過分析可能的解的集合并明確枚舉極端情況，能夠設計一個快速穩定的 P3P 算法。實驗表明，與以前的方法相比，本文的求解器更魯棒且更快。

本文的方法基于研究兩個圓錐曲線的實交點。然而，P3P 問題是特殊的，因為解應該是正實數。三次方程可能有更多的約束，不幸的是，本文沒有發現一個很好的方法來做到這一點。請注意，式(4) 和 (5) 可以用同倫延拓來求解，該方法擅長解決大規模平方系統。但對于 P3P 問題，本文發現它不如當前基本上閉式的求解器有效。