一、長線復數方程的推導

在正弦激勵下，沿線各處的電壓、電流在穩態時都是正弦波，故可用相量（復數）表示，記作：

（10-3-1）

（10-3-2）

式中，Im表示取虛部，、各為電壓、電流相量，只和x有關，以下簡寫為、。將式（10-3-1）、式（10-3-2）代入式（10-2-6）、式（10-2-7），得：

（10-3-3）

（10-3-4）

式中：

（10-3-5）

上式中分別稱為傳播系數、衰減系數和相位系數；是長線的單位長度的串聯阻抗，單位是W/m或W/km；是長線的單位長度的并聯導納，單位是S/m或S/km。

的單位是奈培/公里（Np/km）或奈培/米（Np/m），a 的單位是rad/km或rad/m。

式（10-3-3）、式（10-3-4）是復數形式的齊次常微分方程，其特征方程為：，特征根為，故式（10-3-3）的解為：

（10-3-6）

式中，，是積分常數，由邊值條件決定。

將式（10-2-3）改寫為復數形式：

故：

（10-3-7）

式中：

（10-3-8）

稱為長線的特性阻抗，單位是。

為了求式（10-3-6）、式（10-3-7）確定的解，需要知道邊界條件。設始端電壓、電流各為、，代入此兩式中：

解得：

（10-3-9）

將、代入式（10-3-6）、式（10-3-7），得到沿線任一點處的電壓和電流。

（10-3-10）

同理可得：

（10-3-11）

現令x=l，l是線長，則終端的電壓和電流由式（10-3-10）、（10-3-11）得：

（10-3-12）

如已知終端電壓、電流，解上式可得始端電壓、電流：

（10-3-13）

已知、，也不難求沿線任一點的電壓和電流，只需將式（10-3-13）代入式（10-3-10）、式（10-3-11）中即可：

(10-3-14)

令是從任一點到終端的距離，上式成為：

（10-3-15）

式（10-3-10）、式（10-3-11）和式（10-3-15）都是長線的基本方程。

二、輸入阻抗和長線參數的測試

設傳輸線長為，由式（10-3-13）中的兩式可求始端輸入阻抗為：

（10-3-16）

設負載阻抗，代入上式：

（10-3-17）

當終端空載時，，有：

（10-3-18）

當終端短路時,,有：

(10-3-19)

將、代入式（10-3-17）中，得：

（10-3-20）

在上式中，首先用實驗的方法測出在終端開路、短路時始端的輸入阻抗、，如再知道負載阻抗，就可計算此時的始端輸入阻抗。

由式（10-3-18）、式（10-3-19）知：

（10-3-21）， （10-3-22）

又因：

（10-3-23）

合并上兩式得：

故：

（10-3-24）

從式（10-3-21）、式（10-3-24），可計算，于是：

（10-3-25）

又知，，從和w，可求。

例10-3-1 某單相均勻傳輸線的R₀=0.08W/km，wL₀=0.4W/km，wC₀=3′10^-6S/km，G₀=0，線長km，負載終端電壓130KV，負載消耗功率50MW，負載功率因數0.9（感性），求始端電壓、始端電流、輸入功率和效率。

解：取終端電壓作為參考相量，即，則終端電流為：

所以：

單位長度的串聯阻抗為：

單位長度的并聯導納為：

特性阻抗：

傳播系數：

_*

*本書后面述及的方程，在計算過程中如無特殊說明，均為數值方程。a 單位為rad/km，b 單位為Np/km，g 單位為1/km，l 單位為km。

始端電壓為160kV，始端電流為370A，始端功率P₁為：

傳輸效率：