邏輯代數的化簡算法

觀察函數

1.該函數有四個邏輯變量，可表示成

Y=f(A、B、C、D)

2.該函數有三個乘積項：第一項有四個因子——四個變量在乘積項中都出現了。第二項有三個因子——缺少變量B（或）。第三項缺少變量C、D（或、）。

3.第一個乘積項是A、B、C、D的一個最小項，其余二項均不是A、B、C、D的最小項。

最小項：n個邏輯變量A1、A2、…… An組成的邏輯系統中含n個因子的乘積項——每個變量（或）在乘積項中只出現一次，稱這樣的乘積項為最小項。

兩個邏輯變量A、B有22＝4個最小項，分別是：、、、。

三個邏輯變量A、B、C有23＝8個最小項，分別是：、、、、、、、。

四個邏輯變量A、B、C、D有24＝16個最小項。

練習：寫出A、B、C、D的十六個最小項。

最小項的性質：

（1）對變量的任意一組取值，只有一個最小項為1，其余最小項全為0。二變量A、B的最小項為：、、、。對A、B的任意一組取值：

A=0 B=0 =1 其余三項全為0，即＝＝＝0

A=0 B=1 = 1 其余三項全為0

A=1 B=0 = 1 其余三項全為0

A=1 B=1 = 1 其余三項全為0

（2）全體最小項之和為1。（讀者自己證明）

（3）任意兩個最小項的乘積為0。

最小項的編號：

三變量A、B、C的八組取值000、001、……111能分別使八個最小項的值為1，又與十進制數0，1……7的二進制數表示相同。用0～7編號八個最小項，記為：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7，則m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝。

練習：讀者試寫出四變量A、B、C、D的十六個最小項m0、m1……m15。

邏輯函數的最小項之和形式

任何邏輯函數都可化為最小項之和的標準形式

例：將下列函數化為最小項之和的形式

反函數的最小項之和表示

例：求二變量A，B的邏輯函數的反函數。

解一：

解二：列真值表

由真值表寫出的邏輯表達式

(全體最小項之和)

如三變量A,B,C的邏輯函數則必有

結論：在n個變量的邏輯系統中，如果Y為i個最小項之和，則必為余下的（n－i）個最小項之和。

異或運算與同或運算

定義： 稱A與B異或，為異或運算符

A與B同或，為同或運算符

顯然：

異或與同或互為反函數

由此推得：

即兩者相等為0，不相等為1

同或運算則與之相反，且有

同學自己證明并牢記。

例1． 將下列函數化為最簡與或式。

例2． A，B的波形如下圖所示,試畫出的波形。

最小項的相鄰性

任何兩個最小項如果他們只有一個因子不同，其余因子都相同，則稱這兩個最小項為相鄰最小項。

顯然，m0與m1具有相鄰性，而與不相鄰，因為他們有兩個因子不相同。m3與m4也不相鄰，而m3與m2相鄰。

相鄰的兩個最小項之和可以合并成一項，并消去一個變量。如：

卡諾圖

卡諾圖是美國工程師卡諾（Karnaugh）發明的。用小方塊（格）來表示最小項。三變量的卡諾圖畫八個小方塊（格）來表示八個最小項，四變量的卡諾圖畫十六個小方塊來表示十六個最小項。……