分數階Fourier變換應用于水聲通信及其FPGA實現
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復數結果的新表達式是：
本文引用地址：http://cqxgywz.com/article/146838.htm Rr=[(Ar+Ai)×(Br-Bi)]+(Ar×Bi-Ai×Br)(3次乘法) (8)
Ri=Ar×Bi+Ai×Br(復用來自Rr的乘積) (9)
綜上可知：改進的復數乘法可用3個乘法器、3個加法器和2個減法器實現。在Cyclone系列FPGA中，每個8×8位乘法器需95個邏輯單元，而每個位寬16位的加法/減法模塊只需18個邏輯單元，即改進后的復數乘法器減少41個邏輯單元，降低了FPGA的資源消耗。
卷積模塊
本文采用FFT運算完成卷積運算[11]。基于快速傅立葉變換的卷積計算流程如圖5所示。分別對x(n)和h(n)進行FFT運算，得到對應的頻域響應X(k)和H(k)，將X(k)和H(k)相乘的結果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷積結果y(n)。
?由于進行卷積的Chirp信號已知，為了降低FPGA的資源消耗，可預先計算Chirp信號的FFT結果，并將其保存到RAM中，即可減少一次FFT硬件運算。其改進快速傅立葉變換的卷積計算流程示意圖如圖6。
? 兩次FFT運算共需要2×1/2Nlog2N次相乘還有N次相乘，因此共需要相乘次數為m=N(1+lbN)。傳統方法直接計算線性卷積需要n=ML次乘法。當x(n)和h(n)點數相同時，則M=L，傳統直接計算方法與改進方法進行卷積計算的運算量[12]比較為：
???????? 
?? (10)?
由式(10)可知M值越大，此算法的優越性越明顯。用硬件語言設計出改進快速傅立葉變換的卷積部分并生成模塊，如圖7所示。
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