A2=；

B2=

平均狀態方程的系數矩陣為

D=為開關S11的占空比；Ts為工作周期；求解該狀態方程即可得出各個狀態變量的解，即Vc1=f1(t)，Vc2=f2(t)，Vco=f3(t)，輸出電壓Vo=Vco=f3(t)。

3.2 等效電量關系法

利用狀態空間平均法雖然可以較為精確地分析開關電容DC/DC變換器,但是當電路較為復雜時,如其中含有較多的電容元件或者工作狀態較多時,建立以及求解平均狀態方程將是一件極為繁瑣的工作。利用開關電容DC/DC變換器結構上的特點,可以得到更簡化的分析方法,我們稱之為“等效電量關系法(EEQR)”。

現以圖1的統一模型為例,介紹這種分析方法。

設Ri為在狀態I期間Vs對Ci充電的等效阻抗，r是電容器的等效串聯阻抗（ESR），r′為開關管的導通電阻，則有

Ri= （1）

設Qi′和Qij′分別為Ci和Cij在狀態II放掉的電量，也即負載在一個周期內通過的電量；設Qi和Qij分別為Ci和Cij在狀態I的充電電量，由于構成Ci的各個電容Cij串聯充電，并聯放電，所以有

Qi=Qij

Qi′=niQij (2)

Cij在狀態II失去的電量，應在狀態I得到充分地補充，于是

Qij=Qij′

Qi′=niQi (3)

根據電容，電量和電壓的關系（Q=CU），有

Vci(t1)－Vci(t0)=(4)

而

Qi′=ILTs=(5)

根據在狀態I期間，電容電壓按指數規律上升的原則，有

Vci(t1)－Vci(t0)=[Vs－(ni－1)Vd－Vci(t0)][1－exp(－DTni/RiCij)](6)

由以上各式可以推出

Vci(t1)=Vs－(ni－1)Vd－(7)

假設Co很大，即Vo的紋波很小，在狀態II結束時，則有

Vci(t0)/ni－(ni－1)Vd=Vo(8)

從而可以得到：

Vo=(9)

將式（9）的指數項展開成冪級數，并忽略二次以上各項，則有

Vo=(10)

式（10）即為脈寬調制（PWM）下，典型開關電容DC/DC變換器的穩態電壓的通用表達式。

4 開關電容DC/DC變換器的控制方法

式(9)中，我們稱DTsni/RiCij為該串并電容組合結構的特征系數，用Ki表示,根據Ki的取值，一般可以分為以下三種工作情況。

1)脈寬調制模式(PWM)

當各個串并電容組合結構的特征系數Ki均較小時，式(9)中的指數函數的冪級數展開式的二次以上各項可以忽略不計，從而式（9）可簡化為式(10)，式(10)表明采用PWM方式，可以獲取調制效果，改變工作頻率對于變換器的輸出電壓沒有明顯影響，我們稱之為脈沖寬度調制模式。