首先說一下模的概念，對于范圍是【0，m-1】的整數計量單位，其模為M，和為M的兩個數互為補數，就像時鐘，計量單位是[0,11],那么模就是12,7與5就互為補數。

如果兩個整數，a,b∈【0，m-1】，那么，定義一個映射f,

使f(a-b)=f(a+c), 其中，c=m-b,是b的補碼， f定義為

當0≤x

當x≥m時，f【x】=x%M(此處為模運算，學過C的應當知道)；

當x<0時，f[x]=f(m-(-x)%m)……… 此處是為了保證自變量為正數；

這三個公式可以由計算機原理的溢出來隱式實現，于是天生就有 a-b=a+c ,所以減運算變成了加運算，于是計算機把-b表示成了補碼c；

現在說一說取反加一的問題，假設計算機上的機器字有n位，那么就有m=2n，所以c=2n-b，人在紙上怎么計算c=2n-b的值呢，是這樣的： 的原碼是1后面跟n個0，直接用來減b的原碼不方便，于是就先用2n-1（n個1）減b的原碼，得到的結果再加上一就是2n-b的值，這就是計算機類書籍上說的“取反加一”

數學中的整數相加，仍然是一個整數，但是一個集合內的兩個整數相加，卻不能保證還在這個集合內，用代數的術語來講，叫做 "不滿足封閉性"，這是個很壞的性質，而補碼的提出就是為了用封閉的運算來解決這個問題，

當然，這都是個人理解，歡迎指正，順帶說一句，這是我和謝奇同學的討論結果。