了解為什么相位調制（PM）和頻率調制（FM）可以根據消息信號的性質產生幾乎相同或完全不同的波形。

雖然頻率調制（FM）和相位調制（PM）都屬于角度調制的范疇，但它們產生的波形不同。FM的頻率偏差僅取決于消息信號的幅度，而PM的頻率偏差則取決于消息的幅度和頻率。在本文中，我們將通過探索這些差異來加深對FM和PM波的理解。

PM和FM波

任何消息信號的PM和FM波可以分別通過方程式1和2獲得：

方程式1

方程式2

其中：

m（t）是消息信號

Ac是載波的振幅

fc是載波頻率

kp是相位偏差常數

kf是頻率偏差常數。

正弦消息的FM和PM波

首先，讓我們假設消息信號是一個正弦函數，由下式給出：

方程式3

通過應用方程式1，我們可以很容易地獲得該消息信號的PM波：

方程式4

之后，我們通過對消息信號進行積分來推導FM波：

方程式5

在圖1中可以看到結果波形以及原始消息信號。

正弦消息信號及其相應的PM和FM波。

圖1 正弦消息信號（頂部）、相應的PM波（中間）和相應的FM波（底部）

請注意，這些波形使用以下參數值：

fc=100赫茲

Am=1 V

調頻=2.5赫茲

kp=20 radV

kf=300赫茲/伏。

正如我們根據本系列前一篇文章所預期的那樣，當m（t）具有正斜率時，PM波的頻率會上升，而當它具有負斜率時，頻率會下降。為了檢查FM波的頻率變化，我們需要找到它的瞬時頻率：

方程式6

其中θi是瞬時角度。

這里有兩個觀察結果。首先，雖然PM波的頻率取決于m（t）的斜率，但FM波的頻率會隨著消息信號的瞬時值而變化。圖1證實了這一點，表明當消息信號處于峰值時，FM波頻率達到最大值，當消息信號最低時，頻率達到最小值。

其次，圖1表明，如果不看到消息信號，正弦消息信號的PM波和FM波就無法相互區分。然而，正如我們稍后將看到的，對于非正弦消息信號來說，情況并非如此。

瞬時頻率如何隨Am變化？

在我們開始之前，讓我們仔細看看上面例子中的瞬時頻率，看看它是如何隨著消息幅度（Am）而變化的。我們通過求PM波瞬時角度的導數來獲得PM波的瞬時頻率：

方程式7

瞬時頻率中與消息相關的部分稱為頻率偏差。對于PM波，它由下式給出：

方程式8

同樣，我們可以使用方程6中提供的FM波的瞬時頻率來確定FM信號的頻率偏差：

方程式9

方程式8和9表明，PM和FM波的頻率偏差與消息信號幅度（Am）成正比。圖2提供了一些波形，以幫助我們更好地理解這種關系。

頂部：Am=1 V（左）和Am=1.25 V（右）的消息信號。中間：對應的PM波。底部：對應的FM波。

圖2 頂部：Am=1 V（左）和Am=1.25 V（右）的消息信號。中間：對應的PM波。底部：對應的FM波

上圖中的左側列顯示了Am=1 V的消息幅度的波形。右側列顯示了Am=1.25 V的波形。對于這兩組波形，以下情況均成立：

fc=100赫茲

調頻=2.5赫茲

kp=20 rad/V

kf=300赫茲/伏。

讓我們使用圖2光標框中的數據來比較兩個PM波產生的最低頻率。請注意，單擊圖2將在新選項卡中打開圖像的放大版本，您可能會發現這有助于提高可讀性。

對于Am=1 V，方程式10允許我們通過識別波形中最長的周期來估計PM波的最低頻率：

方程式10

在上述方程中，我們通過從fmin中減去fc=100Hz來得到頻率偏差（fd1）。同樣，對于Am=1.25V，我們有：

方程式11

頻率偏差的比率為：

方程式12

這接近于相應消息幅度的比率（1.25/1=1.25）。因此，我們可以得出結論，PM波的頻率偏差與信息振幅成正比。

我們按照類似的程序驗證了FM波的頻率偏差與消息幅度成正比。使用Am=1 V的數據點，我們再次使用波形的最長周期來估計最低頻率：

方程式13

對于Am=1.25V，我們得到：

方程式14

fd2與fd1的比率約為1.24，可接受地接近1.25的預期值（Am=1.25V與Am=1V的比率）。

消息信號頻率的不同影響

檢查FM和PM波的頻率偏差（方程式8和9）突出了這兩種調制方案之間的重要區別。與FM波相比，PM波的頻率偏差受到消息信號頻率（FM）的影響。為了說明這一點，讓我們使用兩個不同的fm值來生成上一節中的波形：

調頻=2.5赫茲

fm＝2Hz。

在保持其他參數不變的情況下，我們得到了圖3中的波形。

信息信號（頂部）、PM波（中間）和FM波（底部）。左列：調頻=2.5赫茲。右列：fm=2 Hz。

圖3 信息信號（頂部）、PM波（中間）和FM波（底部）。左列：調頻=2.5赫茲。右列：fm=2 Hz

根據方程式10，fm=2.5 Hz的PM波的頻率偏差為fd1=-50 Hz。對于fm=2 Hz，頻率偏差為-39.76 Hz，計算如下：

方程式15

頻率偏差的比率為：

方程式16

這與消息信號頻率的比率相同（2/2.5=0.8）。

FM=2.5 Hz的FM波的頻率偏差為fd1=-47.09 Hz，如之前通過方程13計算得出的。對于fm=2 Hz，我們得到：

方程式17

這可以接受地接近fd1=-47.09 Hz，表明FM波的頻率偏差與消息頻率無關。

頻率偏差變化匯總

在我們繼續之前，讓我們花點時間總結一下我們學到了什么。在FM和PM中，頻率偏差與消息信號（Am）的幅度成正比。如圖4所示。

消息幅度對頻率偏差的影響對于FM和PM波都是相同的。

圖4 對于FM和PM波，消息幅度對頻率偏差的影響是相同的

PM波的頻率偏差也與消息頻率（fm）成正比。然而，FM方案中的頻率偏差不受FM的影響。這些關系如圖5所示。

消息頻率對FM（橙色）和PM（藍色）波頻率偏差的影響。

圖5 消息頻率對FM（橙色）和PM（藍色）波頻率偏差的影響

階躍函數消息的FM和PM波形

到目前為止，我們只討論了正弦消息信號產生的FM和PM波。但是，如果消息信號是階躍函數呢？圖6顯示了此示例的波形。

階躍函數消息信號（頂部）、相應的PM波（中間）和相應的FM波（底部）。

圖6階躍函數消息信號（頂部）、相應的PM波（中間）和相應的FM波（底部）

圖6中的消息函數在t=0.05秒時包含了一個單位步長變化，從0轉換到1。對于t<0.05秒，消息信號為零，我們有一個未調制的載波。對于t>0.05秒，m（t）具有恒定的單位值。

圖的中間部分顯示了與此消息信號對應的PM波。當kp=π/2時，PM方案引入了π/2的突變相移。正如我們在前面一篇關于相位調制的文章中所了解到的，恒定的消息信號會引入相移，而不會改變PM波的頻率。因此，在階躍函數轉換后，PM波的頻率保持不變。

要確定FM波，請注意，單位階躍函數的積分隨時間線性增長，保持斜率為1。這為載波的自變量引入了一個項（2πkft）。因此，對于t>0.05秒，我們可以將FM波表示為：

方程式18

這表明，在階躍函數轉換后，FM波的頻率增加了kf。

將圖1中使用正弦消息信號的角度調制波形與圖6中的波形進行對比。在圖1中，如果不顯示消息信號，則無法區分PM波形和FM波形。然而，圖6中的情況并非如此。根據消息信號的類型，PM和FM方案可以產生相似或完全不同的波形。

總結

在幅度調制中，調制波的包絡直接反映了消息信號的變化。在角度調制中，信息信號對載波的影響更為微妙。然而，這種關系的細節因角度調制的類型而異。

一個主要區別在于頻率偏差與消息信號的關系。在FM中，頻率偏差僅受消息信號幅度的影響。相比之下，PM的頻率偏差受到消息信號的幅度和頻率的影響。我希望本文中的示例能幫助您理解消息信號是如何影響這兩種角度調制波的。