使用三階截距點（IP3）度量，我們研究了級聯射頻系統中單個增益級的非線性如何影響級聯整體的線性性能。

本系列的早期文章探討了評估射頻組件線性度的關鍵概念，例如1 dB壓縮點和三階截距點（IP3）。在實踐中，我們的系統由多個以級聯方式連接的組件組成。最終，我們感興趣的是整個系統的線性性能。

本文探討了級聯系統的線性度與構成級聯的各個組件的線性度之間的關系。理解這種關系至關重要，因為它使我們能夠識別限制系統線性的組件。

確定IM3組件的功率

當雙音輸入由?1和?2的頻率分量組成時，三階非線性會在輸入頻率附近產生失真分量。我們將使用術語IM3來指出現在2°1-°2和2°2-°1的帶內互調分量。

考慮一個雙音測試，其中每個輸入音的功率為P1，dBm。如圖1所示，本次測試的輸出基波和IM3分量的功率分別為PF，dBm和PIM，dBm。

雙音測量中輸出基波和IM3分量的功率與輸入功率的關系。

圖1 雙音測量中輸出基波和IM3分量的功率與輸入功率的關系

在本文的這一部分中，我們將制定一個方程來確定IM3組件的功率。稍后，我們將使用這個方程來評估級聯系統的非線性。

假設施加的輸入功率（P1，dBm）和輸入三階截距點（IIPdBm）之間的差為ΔP。由于IM3功率以3:1的斜率上升，輸出截距點（OIPdBm）和PIM之間的差值dBm為3ΔP。此外，由于線性輸出的斜率為1，OIPdBm和PF之間的差值dBm為ΔP。從上圖可以看出，PF，dBm和PIM，dBm之間的差值為2ΔP：

方程式1

將OIPdBm–PF，dBm=ΔP代入上述方程，我們得到：

方程式2

其簡化為：

方程式3

在上述分析中，功率量以分貝為單位。方程式3的線性等價物為：

方程式4

方程4以線性形式給出了功率量，是本文的基石。該方程表明，IM3組件的功率與基波輸出功率的立方成正比，與電路輸出IP3點的平方成反比。稍后，我們將使用它來確定IM3組件在級聯不同節點上的功率。不過，在此之前，我們需要研究IM3組件的產生機制。

級聯系統中的IM3生成

考慮一個無記憶非線性階段，其輸入輸出特性由三次多項式表達式近似表示：

方程式5

如果我們對上述電路應用雙音輸入，輸出端會出現幾個不同的諧波和非諧波（即互調）分量。圖2顯示了雙音測試中生成的輸出頻率分量。

當輸入-輸出特性由三階表達式建模時，由線性項和二階和三階非線性產生的頻率分量。

圖2 當輸入輸出特性由三階表達式建模時，由線性項（綠色）、二階項（藍色）和三階項（橙色）產生的頻率分量

請注意，該圖沒有描述組件的相對大小，只是描述了它們的存在和出現的頻率。取決于電路非線性特性的相對幅度在這里并不重要。

接下來，讓我們考慮兩個非線性階段的級聯（圖3）。

兩個非線性階段的級聯。

圖3 兩個非線性階段的級聯

通過雙音輸入，第一級在節點a處生成圖2所示的所有頻率分量。這些頻率分量經歷了第二級的非線性，并在節點B處生成了最終的失真分量。我們的目標是確定節點B處出現的整體IM3分量。

第一級產生的幾個不同的失真分量可能會對級聯輸出端的IM3分量產生影響。例如，圖2顯示，由于其二階非線性，第一級在2°2處產生失真分量。然后，由于第二級的二階失真，該分量在?1處與基波分量混合，產生2 9077 2-9077》1處的互調（IM）產物。

然而，應該注意的是，2?2處的失真分量遠離輸入頻率（9077 1和9077》2）。由于大多數射頻電路的帶寬很窄，我們預計2?2的組件會受到電路頻率響應的嚴重抑制。因此，級聯系統的簡化非線性分析僅考慮輸入頻率附近的失真分量。

考慮到這一點，讓我們研究一下產生輸出IM3失真的兩種混合機制。

第一階段的三階非線性

讓我們從第一階段產生的三階失真開始。這與第二級的線性響應相結合，在輸出端產生IM3分量。相關頻率分量如圖4所示。

第二級放大由第一級產生的三階失真。

圖4 第二級放大由第一級產生的三階失真

在上圖中，我們看到第一級的三階非線性在節點A處的頻率2?1-?2和2?2-F 1處產生IM分量。第二級放大了這些失真項。

我們應用方程式4來計算節點A處IM分量的功率，得到：

方程式6

其中OIP1是第一級的輸出三階截距點，PF，A是節點A處的基本輸出功率。PF，A等于輸入功率（P1）乘以第一級的增益（G1）：

方程式7

結合前兩個方程，我們得到：

方程式8

節點A處的IM功率乘以第二級（G2）的增益，并在輸出端顯示為：

方程式9

上述方程式確定了第一機構對輸出IM3功率的貢獻。

第二階段的三階非線性

第一級的線性增益在第二級的輸入端（節點A）產生基波分量。由于第二級的三階非線性，它們在輸出端（節點B）產生三階IM分量。從方程7中我們知道，節點A處的基本分量具有P1G1的冪。因此，第二階段通過雙音測試進行激勵，其中每個音調的功率為P1G1。如圖5所示。

第一級放大輸入分量，第二級產生三階失真分量。

圖5 第一級放大輸入分量，第二級產生三階失真分量

將方程式4應用于第二階段，我們得到：

方程式10

在上述方程中，OIP2是第二級的輸出三階截距點，PF，B是節點B處的基本輸出功率。PF，B等于第二級（P1G1）的基本功率輸入乘以第二級

方程式11

這是第二種機制對輸出IM3功率的貢獻。

畸變項的相干相加

在前面的章節中，我們計算了每個階段對輸出IM3分量的功率貢獻。相關的問題是：這些組成部分是如何組合在一起產生輸出IM3失真的？

由于互調信號是確定的，我們不能簡單地增加功率。相反，我們必須處理電壓。我們遵循三個步驟：

將電源組件轉換為電壓。

將電壓相加，得出總失真電壓。

將結果轉換回電量。

來自第一機制的功率（方程式9）產生以下失真電壓：

方程式12

其中Z0是系統阻抗。類似地，來自第二機制的功率（方程式11）產生由下式給出的失真電壓：

方程式13

在最壞的情況下，V1和V2是同相的，加在一起產生輸出IM3電壓：

方程式14

我們取VIM的平方，將結果除以Z0，得到總輸出IM3功率：

方程式15

請注意，第一個括號內的項等于級聯輸出端的基本功率。用PF表示這個項，out，我們可以把上面的方程改寫為：

方程式16

該方程給出了級聯輸出端的IM3功率。通過注意其與描述單級輸出端IM3功率的方程4的相似性，我們可以建立級聯有效輸出截點（OIPcas）的方程：

方程式17

三級葉柵的截斷點

現在我們已經研究了兩級級聯的非線性，讓我們考慮一個三級級聯系統（圖6）。

三級級聯。

圖6 三級級聯

我們使用與之前類似的程序獲得三級級聯的輸出截距點：

方程式18

請注意，分母項只是指整個系統輸出的每個階段的截距點。這意味著每個階段的截距點乘以該階段之后的總增益。如果后續階段的總增益相對較大，則與該階段相關的分數相對較小。因此，當增益項很大時，級聯最后階段的非線性變得越來越關鍵。

通過注意前一級的信號放大意味著后一級需要處理相對較大的信號，可以直觀地理解這一點。這些較大的信號推動級聯中的后期進入更非線性的操作區域。關鍵的結論是，當各階段的增益顯著時，后期階段存在的任何非線性都會對整體系統性能產生更明顯的影響。

示例：計算兩級葉柵的三階截點

為了鞏固我們所學到的知識，讓我們通過一個示例問題來解決。圖7顯示了一個輸出截距為+8 dBm、增益為13 dB的低噪聲放大器，后面是一個輸入截距為0 dBm、增益10 dB的混頻器。

包括LNA和混頻器的級聯系統的示例。

圖7 包括LNA和混頻器的級聯系統的示例

確定此系統的以下內容：

級聯的輸出截斷點。

級聯的輸入截斷點。

哪個階段限制了級聯的攔截點。

為了應用級聯截距方程（方程17），我們首先將混頻器截距點的參考從輸入轉移到輸出：

方程式19

然后，我們將分貝值轉換為線性值：

方程式20

將這些值代入方程17，我們得到級聯的輸出截距點：

方程式21

根據方程式21，級聯的輸出截距點計算為OIPcas=8.63 mW=9.4 dBm。級聯的輸入截距點等于輸出截距點減去總增益（以分貝為單位），從而得到9.4 dBm–（13+10）dB=–13.6 dBm的輸入截隙點。

為了確定哪個階段限制了級聯的截斷點，讓我們假設混頻器具有完美的線性（OIP2=無窮大）。從級聯截距方程中，我們觀察到，當OIP2接近無窮大時，系統的輸出截距點變為OIPcas=OIP1G2。在這種情況下，使用分貝單位，OIPcas的計算結果為8 dBm+10 dB=18 dBm。

這遠遠大于混頻器的輸出截距點，即10dBm。因此，混頻器限制了級聯的線性度。為了驗證這一點，我們注意到計算出的輸出截距點為OIPcas=9.4 dBm。該量接近混頻器的輸出截距點（OIP2=10dBm）。

總結

實用的射頻系統由幾個不同模塊的級聯組成。在這篇文章中，我們討論了各個組成級的線性度如何影響整個級聯的線性性能。當級具有顯著增益時，后期級中存在的任何非線性都會更深刻地影響整體系統性能。因此，在最后階段仔細管理和理解非線性至關重要，尤其是在處理實質性收益時。