了解貝塞爾函數(shù)和調(diào)制指數(shù)可以幫助我們了解寬帶調(diào)頻（FM）信號的帶寬。

由于它遵循疊加原理，調(diào)幅（AM）被歸類為線性調(diào)制技術(shù)。另一方面，角度調(diào)制基本上是非線性的。這種非線性使發(fā)射機(jī)和接收機(jī)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)變得復(fù)雜。

這種非線性的一個影響是調(diào)制波的有效帶寬可以比原始消息信號的有效帶寬寬得多。為了有效地傳輸和接收角度調(diào)制信號，了解調(diào)制波所占用的帶寬至關(guān)重要。

以前，我們探索了低調(diào)制指數(shù)的角度調(diào)制波的頻率內(nèi)容。本文研究了當(dāng)消息信號是單頻正弦波時(shí)，具有任意調(diào)制指數(shù)的角度調(diào)制波的帶寬。與之前一樣，我們將重點(diǎn)介紹調(diào)頻（FM），因?yàn)樗哂凶吭降脑肼曅阅堋?/p>

角度調(diào)制波與窄帶調(diào)頻：綜述

為了更好地理解我們在本文中想要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，讓我們首先回顧一下我們在前面的文章中所涵蓋的內(nèi)容?；叵胍幌?，恒定振幅、角度調(diào)制信號可以用以下方程表示：

方程式1

其中Ac是載波振幅，fc是載波頻率。

方程式2顯示了FM方案中?（t）與消息信號之間的關(guān)系：

方程式2

其中kf是頻率偏差常數(shù)。

雖然我們在本文中不會討論相位調(diào)制（PM），但它也可以作為角度調(diào)制。為了完整起見，方程3顯示了?（t）與相位調(diào)制中的消息信號的關(guān)系：

方程式3

其中kp是比例常數(shù)。

分析任意消息信號的角度調(diào)制帶寬可能會很快變得非常復(fù)雜。因此，我們經(jīng)常使用某些近似值或特殊情況來理解角度調(diào)制波的關(guān)鍵特征。其中一種近似方法是窄帶角度調(diào)制，它假設(shè)|?（t）|遠(yuǎn)小于一弧度。

我們的初步分析發(fā)現(xiàn)，窄帶調(diào)頻占用了信息信號帶寬的兩倍。為了進(jìn)一步理解，我們考慮了單頻消息信號的特殊情況下的窄帶FM調(diào)制。這表明窄帶FM的下邊帶相對于上邊帶經(jīng)歷了相位反轉(zhuǎn)，如圖1（b）的相量圖所示。

當(dāng)使用單頻消息信號時(shí)，傳統(tǒng)AM（a）和窄帶FM（b）的相量圖。

圖1 當(dāng)使用單頻消息信號時(shí)，傳統(tǒng)AM（a）和窄帶FM（b）的相量圖

在本文中，我們將繼續(xù)研究由單頻消息信號產(chǎn)生的FM波的帶寬。然而，與前一篇文章不同，取消了|?（t）|?1弧度的約束。我們稱之為寬帶，而不是窄帶，F(xiàn)M。

單頻輸入的寬帶調(diào)頻

讓我們假設(shè)消息信號是單音正弦曲線：

方程式4

其中Am和fm分別是消息信號的幅度和頻率。將方程式2?（t）應(yīng)用于FM波：

方程式5

?（t）的振幅，即調(diào)制指數(shù)，通常用β表示：

方程式6

其中Δf=kfAm。將方程5代入方程1，我們得到FM信號：

方程式7

我們之前介紹的參數(shù)β是調(diào)制指數(shù)，它控制著FM中的調(diào)制量。正如我們稍后將看到的，F(xiàn)M的帶寬取決于β。請注意，這與傳統(tǒng)的AM方案形成鮮明對比，后者的帶寬與其調(diào)制指數(shù)（μ）無關(guān)。

根據(jù)方程6，β與調(diào)制信號的幅度（Am）成正比，與調(diào)制信號頻率（fm）成反比。因此，F(xiàn)M的帶寬取決于調(diào)制信號的幅度和頻率。

確定調(diào)頻波的占用帶寬

正弦調(diào)制信號產(chǎn)生的FM波通常是非周期性的，除非載波頻率（fc）是FM的整數(shù)倍。然而，事實(shí)證明，我們可以從這個方程中分離出一個周期性的乘法項(xiàng)。使用傅里葉級數(shù)來擴(kuò)展這個周期項(xiàng)簡化了問題，并使我們能夠識別整個FM信號的頻譜。

讓我們深入探討這個過程。方程式7中的FM信號可以改寫為：

方程式8

其中，運(yùn)算符Re[.]表示方括號內(nèi)數(shù)量的實(shí)部。我們將方程8中的乘法項(xiàng)之一定義為g（t）：

方程式9

該項(xiàng)是周期性的，基頻等于調(diào)制頻率。我們可以將g（t）展開為復(fù)傅里葉級數(shù)：

方程式10

g（t）的指數(shù)傅里葉級數(shù)系數(shù)可以如下獲得：

方程式11

這個積分是n和β的函數(shù)，被稱為第一類貝塞爾函數(shù)。用Jn（β）表示：

方程式12

乍一看，上述積分可能令人望而生畏，但好消息是我們很少需要直接計(jì)算它。我們將在下一篇文章中深入研究Jn（β）的關(guān)鍵屬性。目前，只需將其視為一個依賴于n和β的縮放因子。

在傅里葉級數(shù)系數(shù)cn=Jn（β）的情況下，我們可以使用方程10將g（t）表示為：

方程式13

最后，將該方程代入方程8，F(xiàn)M信號可以改寫為：

方程式14

當(dāng)消息信號是單頻正弦波時(shí)，上述方程是對具有任意調(diào)制指數(shù)β的FM信號的有用描述。

理解推導(dǎo)方程

方程14顯示，按J0（β）因子縮放的載波出現(xiàn)在輸出頻譜中。最近的分量是fc+fm和fc-fm處的邊帶，其縮放因子分別為J1（β）和J-1（β）。次接近的分量是位于fc+2fm和fc-2fm的邊帶，它們分別具有J2（β）和J-2（β）的縮放因子。這種模式對任何Jn（β）和J-n（β。

圖2顯示了Ac=1時(shí)正弦調(diào)制輸入產(chǎn)生的FM信號的典型頻譜。

單音消息信號的FM信號的典型頻譜。

圖2 單音消息信號的FM信號的典型頻譜

這里有一些觀察結(jié)果。首先，在FM和PM中，會產(chǎn)生大量的上邊帶/下邊帶對。這需要比相同消息信號的幅度調(diào)制更多的帶寬。其次，請注意，頻率分量彼此分開的頻率等于調(diào)制頻率。

最后，邊帶的振幅并不相同，由AcJn（β）給出。縮放因子Jn（β）是β的函數(shù)，β本身取決于消息信號的幅度（Am）和頻率（fm）（見方程式6）。因此，頻率分量的振幅隨著Am和fm而變化。

示例：查找FM信號頻譜

現(xiàn)在，我們將找到Ac=1和各種調(diào)制指數(shù)值β=0、0.2、1、2的正弦消息信號產(chǎn)生的FM波的頻譜。為此，我們需要知道Jn（β）的值。

為了幫助確定貝塞爾函數(shù)的精確值，表1列出了選定β值的Jn（β）。Jn（β）值低于0.01被認(rèn)為可以忽略不計(jì)，因此不包括在表中。

表1 n=0到n=14的Jn（β）的顯著值和一些選定的β值

圖3顯示了n=0到4且β≤20時(shí)的Jn（β）。

第一類貝塞爾函數(shù)，n等于零到四，β小于或等于二十。

圖3 n=0到4且β≤20的第一類貝塞爾函數(shù)

當(dāng)β=0時(shí)，圖3顯示，對于所有n>0，我們有J0（0）=1和Jn（0）=0。在這種情況下，我們沒有調(diào)制。只有相對振幅為1的未調(diào)制載波出現(xiàn)在輸出端。如圖4（a）所示。

β=0（a）和β=0.2（b）時(shí)的FM信號頻譜幅度。

圖4 β=0（a）和β=0.2（b）時(shí)的FM信號頻譜幅度

圖4（b）顯示了β=0.2時(shí)的輸出光譜大小。在圖4（b）中，F(xiàn)M信號僅包含一對有效邊帶，類似于傳統(tǒng)的AM方案。這是一個窄帶調(diào)頻的例子，我們在上一篇文章中討論過。

最后，圖5（a）和圖5（b）分別顯示了β=1和β=2時(shí)獲得的輸出光譜。

β=1和β=2時(shí)FM信號頻譜的幅度。

圖5 β=1（a）和β=2（b）時(shí)FM信號頻譜的幅度

將這些圖相互比較并與圖4進(jìn)行比較，我們發(fā)現(xiàn)增加調(diào)制指數(shù)會導(dǎo)致額外的顯著邊帶。圖4和圖5中頻率分量的振幅與表1中的相應(yīng)值相匹配。

總結(jié)

調(diào)頻調(diào)頻信號由fc處的載波分量和fc±FM、fc±2fm、fc？FM等無限數(shù)量的邊帶組成。第n邊帶的強(qiáng)度由貝塞爾函數(shù)Jn（β）決定。在下一篇文章中，我們將仔細(xì)研究貝塞爾函數(shù)，以便更好地理解FM邊帶的行為。