在這篇文章中，我們將學習貝塞爾函數的基本性質，以及它們可以告訴我們關于實際調頻信號帶寬的信息。

在上一篇文章的末尾，我們了解到單頻消息信號產生的FM波頻譜由無限多個邊帶組成。邊帶通過調制頻率（fm）彼此分開。然而，在實踐中，FM信號的帶寬是有限的。在這篇文章中，我們將通過研究第一類貝塞爾函數來解決這一明顯的矛盾，并提高我們對調制譜的整體理解。

貝塞爾函數的可視化

具有任意調制指數β的音調調制FM波的方程可以寫為：

方程式1

正如你在上面的方程中看到的，第n邊帶分量按Jn（β）縮放。這個比例因子被稱為第一類貝塞爾函數。圖1顯示了n=0到4且β小于或等于20的Jn（β）。

第一類貝塞爾函數，階數為0到4，β小于或等于20。

圖1 階數為0到4且β≤20的第一類貝塞爾函數

在檢查圖1時，注意J0（β）在某些β值（例如2.4和5.5）處變為零。對于這些β值，載波從輸出中消失。這將在本文稍后部分很重要。

接下來，讓我們來看看Jn（β）的一些最重要的性質。

β較小時的輸出光譜

對于調制指數（β）的較小值，我們可以近似Jn（β）如下：

方程式2

符號在哪里！表示階乘函數。當β小到足以構成窄帶FM時，方程2簡化為：

方程式3

您可以通過檢查圖1中的曲線來直觀地驗證這些近似值。

對于遠小于1的β值，FM信號由一個載波和一對fc±FM的邊頻組成，類似于AM系統。例如，圖2顯示了β=0.2時光譜分量的大小。

β的FM信號頻譜幅值等于0.2。

圖2 β=0.2時的FM信號頻譜幅度

請注意，載波分量的振幅接近于1，邊頻的振幅近似為β/2=0.1。

奇數階邊帶中的相位反轉

對于第一類貝塞爾函數，正負指數n處的函數值之間存在對稱關系。該關系由下式給出：

方程式4

這意味著奇數階下側帶相對于相同階的上側帶相位相反。對應的偶數階邊帶是相同的。

為了說明這一點，讓我們再次使用β=0.2的示例值。圖2僅顯示了該β值的光譜分量的大小。如果我們考慮邊帶符號，我們得到了圖3中的頻譜。

考慮到邊帶符號，β的FM信號頻譜等于0.2。

圖3 考慮邊帶符號的β=0.2的FM信號頻譜 

FM信號的平均功率

所有n整數值的Jn（β）平方和等于1：

方程式5

此屬性可用于確定FM信號的平均功率。考慮方程6，它再現了文章開頭的FM波動方程：

方程式6

正交正弦曲線之和的平均功率是它們各自功率的總和。因此，s（t）的平均功率為：

方程式7

使用方程式5，平均功率簡化為：

方程式8

值得一提的是，我們可以在不使用方程5中給出的恒等式的情況下獲得相同的結果。角度調制信號可以描述為：

方程式9

為了計算平均功率，我們將信號平方并取其時間平均值。使用基本的三角恒等式，s（t）的平方可以寫成：

方程式10

取該信號的時間平均值，我們得到：

方程式11

符號<。>在上述方程中，表示括號內函數隨時間變化的平均值。

在求時間平均值時，我們注意到，如果載波頻率（fc）足夠大，則上述方程中的余弦項在直流附近的頻率含量可以忽略不計。因此，FM波的功率取決于未調制波的振幅，與消息信號無關。與幅度調制相比，發射機功率的這種恒定性是角度調制的一個關鍵優勢。

載波分量的振幅

載波的振幅按系數J0（β）縮放。這意味著載波振幅隨著調制指數（β）而變化，就像邊帶分量一樣。調制指數由下式給出：

方程式12

因此，與Am方案不同，載波分量取決于消息信號的幅度（Am）和頻率（fm）。正如我們在檢查圖1時所注意到的，在某些β值（J0（β）等于零的值）處，載流子從輸出中消失。

要理解為什么載波分量隨β變化，請記住FM信號的平均功率是恒定的，等于Ac2/2。我們在上一節中得出了這一點。在沒有調制的情況下，總平均功率僅集中在載波分量中。然而，當載波經歷頻率調制時，一部分功率被分配給邊帶分量。這部分的大小取決于β。

對于Ac=1，載波和調制指數之間的關系如圖4所示。

左：當β等于0時，FM信號頻譜集中在載波分量中。右：通過調制，信號的總功率在載波和邊帶之間共享。

圖4 當β=0時，FM信號頻譜集中在載波分量（a）中。在調制（β=0.2）時，信號的總功率在載波和邊帶頻率（b）之間共享

FM頻譜的重要邊帶

表1（也出現在“寬帶FM信號介紹”中）列出了選定β值的Jn（β），四舍五入到最接近的百分之一。請注意，Jn（β）低于0.01的值被認為可以忽略不計，因此不包括在表中。

表1 n=0至14的Jn（β）的顯著值和一些選定的β值

重要邊帶的數量取決于β。例如，當β≥1時，只有J0（β）、J1（β）和J-1（β）具有可觀的振幅，這意味著只有載波和fc+fm和fc-fm處的邊帶出現在輸出端。隨著β的增加，額外的邊帶開始出現。因此，β值越高，信號傳輸的帶寬就越寬。

當β遠大于1時，將形成無限數量的邊帶，從而產生與調幅方案截然不同的頻譜。表1中的數據可用于驗證當n>β時，Jn（β）對所有n值均呈單調遞減。當n明顯大于β時，Jn（β）減小到遠低于1。

例如，取Jn（β），β=10，n變化。當n小于10時，Jn（10）是非單調的。相比之下，當n>10時，它單調下降。這意味著，對于給定的β，當n充分增長時，Jn（β）會減小到遠低于1。這只會產生有限數量的重要邊帶。

圖5通過繪制幾個β值的Jn（β）與n的關系圖來證明這一點。

對于幾個β值，第一種貝塞爾函數被繪制為n的函數。

圖5 Jn（β）繪制為幾個β值的n函數

如果我們假設Jn（β）在n>β+1時可以忽略不計，則有效邊帶的數量變為β+1。FM波的帶寬為：

方程式13

在窄帶調頻的特殊情況下，如預期的那樣，我們有β<1，帶寬等于BW=2fm。

Jn（β）的復發關系

我們將在本系列的下一篇文章中了解更多關于方程式13的信息。現在，我想通過強調一個遞歸方程來總結，該方程將Jn（β）的不同階值聯系起來：

方程式14

使用這個遞歸方程，我們可以通過知道前兩階的Jn（β）值來確定特定n處的Jn。例如，從表1中，我們得到J0（10）=-0.25和J1（10）=0.04。將這些值代入上述方程式，得到：

方程式15

一旦考慮了舍入誤差，該值可接受地接近表中提供的值J2（10）=0.25。

總結

為了更深入地了解音調調制調頻波的頻譜，本文研究了Jn（β）的關鍵性質。我們的討論強調了上邊帶和下邊帶之間的對稱性，證明了FM信號的總功率保持恒定，并表明FM信號具有有限的有效帶寬。我們將在下一篇文章中討論確定有效帶寬的不同方法。