本文在介紹卡森帶寬估計(jì)規(guī)則的同時(shí)，解釋了如何根據(jù)信號(hào)的邊帶或總功率計(jì)算所需的傳輸帶寬。

在本系列的早些時(shí)候，我們深入研究了由單頻消息信號(hào)（也稱為音調(diào)調(diào)制FM）產(chǎn)生的FM波的頻譜。據(jù)我們所知，這個(gè)頻譜由無數(shù)個(gè)邊帶組成。然而，只有有限數(shù)量的這些邊帶包含大量的功率。在確定傳輸信號(hào)所需的帶寬時(shí)，只需要考慮重要的邊帶。

但在這種情況下，什么才算“重要”呢？我們?nèi)绾斡行У鼗卮疬@個(gè)問題，決定了我們?cè)谠O(shè)計(jì)中愿意接受的失真水平。我們可以通過容納更多的光譜分量來減少失真。

在本文中，我們將討論定義FM信號(hào)有效帶寬的兩種不同方法。然后，我們將學(xué)習(xí)卡森法則，這是一種簡單且相當(dāng)準(zhǔn)確的估計(jì)方法。雖然這些方法基于對(duì)調(diào)頻調(diào)頻波的分析，但也可用于尋找其他調(diào)頻信號(hào)的傳輸帶寬。

調(diào)頻音調(diào)波

在任意調(diào)制指數(shù)為β的情況下，音調(diào)調(diào)制FM波的方程可以寫為：

方程式1

其中Ac是載波的振幅。

n階邊帶分量由第一類貝塞爾函數(shù)Jn（β）縮放。圖1顯示了Ac=1時(shí)調(diào)頻調(diào)頻波的典型頻譜。

單音消息信號(hào)的FM信號(hào)的典型頻譜。

圖1 單音消息信號(hào)的FM信號(hào)的典型頻譜。圖片由Steve Arar提供

嚴(yán)格來說，調(diào)頻波的帶寬是無限的。這從方程式1中可以清楚地看出。然而，對(duì)于大的n，Jn（β）可以近似為：

方程式2

這意味著，對(duì)于足夠大的n值，Jn（β）接近零。因此，并非FM波的所有邊帶都包含顯著的功率。

基于相對(duì)邊帶幅度的有效帶寬

定義音調(diào)調(diào)制FM信號(hào)的有效帶寬的一種方法是忽略相對(duì)幅度低于設(shè)定閾值的邊帶。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，我們將傳輸帶寬定義為：

方程式3

其中：

fm是消息信號(hào)的頻率

nmax表示|Jn（β）|超過定義閾值的最高整數(shù)索引。

在方程3中，我們將2nmax乘以fm，因?yàn)楣庾V分量的間隔為fm（見圖1）。給定β的nmax值可以很容易地從Jn（β）的表列值中確定。例如，考慮β=2時(shí)的Jn（β）和表1中所示的各種n值。

表1 β=2時(shí)的Jn（β）和不同的n值

假設(shè)我們將閾值設(shè)置為未調(diào)制載波的1%。滿足|Jn（β）|>0.01的n的最高值為nmax=4，導(dǎo)致β=2時(shí)的有效帶寬BW=8fm。

或者，我們可以使用1%作為顯著性的閾值。圖2顯示，對(duì)于1%和10%的標(biāo)準(zhǔn)，nmax都是β的連續(xù)函數(shù)。

作為β函數(shù)的有效邊帶對(duì)的數(shù)量。

圖2 作為β函數(shù)的有效邊帶對(duì)的數(shù)量。圖片由A.B.Carlson提供

1%閾值的帶寬通常過于保守。另一方面，10%的閾值會(huì)導(dǎo)致微小但明顯的失真。對(duì)于大多數(shù)應(yīng)用程序，這兩個(gè)限制之間的nmax值通常是合適的。

在某些情況下，特定閾值的有效帶寬以BW/Δf與β的關(guān)系圖提供。圖3顯示了1%閾值的曲線圖。

帶寬歸一化為頻率偏差與β的關(guān)系圖。

圖3 帶寬歸一化為頻率偏差（BW/Δf）與β的關(guān)系圖。圖片由Simon Haykin提供

基于功率的有效帶寬定義方法

我們還可以將有效帶寬定義為包含總功率特定比例的頻率范圍。例如，如果所選帶寬捕獲了98%或更多的FM波功率，則失真通常被認(rèn)為是可以容忍的。

讓我們使用表1中的數(shù)據(jù)來確定β=2時(shí)捕獲98%或更多FM波功率的帶寬。具有N個(gè)邊帶的FM波的功率為：

方程式4

FM波的總功率由下式給出：

方程式5

我們想確定滿足以下條件的N的最小值：

方程式6

替換表1中的數(shù)據(jù)并應(yīng)用性質(zhì)|J-n（β）|=|Jn（β

方程式7

滿足上述方程的N的最小值為N=3，當(dāng)β=2時(shí)，有效帶寬為BW=6fm。

卡森法則

有趣的是，如果我們考慮不同β值下98%或更多FM波功率的帶寬，我們發(fā)現(xiàn)有效邊帶的數(shù)量總是N=β+1。這就是所謂的卡森法則。

根據(jù)卡森規(guī)則，包括98%或更多調(diào)頻調(diào)頻波功率的傳輸帶寬為：

方程式8

上述方程式也可以寫成：

方程式9

其中Δf是最大頻率偏差。請(qǐng)注意，方程式8和9也適用于β<1。在這種情況下，我們有一個(gè)帶寬為BW≈2fm的窄帶FM波。

示例1：確定FM波的帶寬

考慮一個(gè)由150 Hz正弦信號(hào)頻率調(diào)制的2 kHz載波。峰值頻率偏差（Δf）為20 Hz。這個(gè)調(diào)頻波的大致帶寬是多少？當(dāng)fm=150 Hz，Δf=20 Hz時(shí)，我們得到：

方程式10

這是一個(gè)窄帶調(diào)頻信號(hào)。應(yīng)用卡森定律，我們得到帶寬：

方程式11

這接近我們窄帶調(diào)頻分析中2fm=300 Hz的預(yù)期值。

圖4顯示了通過對(duì)信號(hào)執(zhí)行快速傅里葉變換（FFT）獲得的載波頻率附近的調(diào)制信號(hào)的頻譜。

頻率偏差為20Hz、調(diào)制頻率為150Hz、β=0.133的音調(diào)調(diào)制FM波的頻譜。

圖4 Δf=20 Hz、FM=150 Hz和β=0.133的調(diào)頻調(diào)頻波頻譜。圖片由Steve Arar提供

注意，光標(biāo)框中的邊帶分量的幅度與J1（0.133）=0.0665的值一致。

讓我們用fm=2 Hz和Δf=50 Hz重復(fù)這個(gè)練習(xí)。那么帶寬是多少？

當(dāng)fm=2 Hz，Δf=50 Hz時(shí)，我們得到β=25。應(yīng)用卡森法則，帶寬估計(jì)為：

方程式12

圖5顯示了這種情況下的模擬輸出頻譜，顯示了符合卡森規(guī)則的帶寬。

第二組示例值的音調(diào)調(diào)制FM波的頻譜。

圖5 Δf=50 Hz、FM=2 Hz和β=25的音調(diào)調(diào)制FM波的頻譜。圖片由Steve Arar提供

任意消息信號(hào)的FM帶寬

在上述討論中，我們使用貝塞爾函數(shù)表驗(yàn)證了音調(diào)調(diào)制FM信號(hào)的卡森規(guī)則。調(diào)頻調(diào)頻波不能準(zhǔn)確反映現(xiàn)實(shí)世界的情況。通常，消息信號(hào)包括各種頻率。

對(duì)于確定任意消息信號(hào)的FM頻譜，沒有直接的表達(dá)式。然而，在確定FM波的帶寬時(shí)，可以將音調(diào)調(diào)制FM分析的結(jié)果推廣到非正弦調(diào)制信號(hào)。在這種情況下，我們將偏差比（D）定義為最大頻率偏差（Δf）除以消息信號(hào)中存在的最大調(diào)制頻率（W）：

方程式13

偏差比類似于音調(diào)調(diào)制的調(diào)制指數(shù)。用D代替β，我們可以確定有效邊帶分量的數(shù)量（nmax），并使用以下方程估計(jì)所需的帶寬：

方程式14

在這種情況下，我們知道nmax依賴于D。我們可以通過將β替換為D，將fm替換為W來應(yīng)用卡森規(guī)則，而不是使用曲線和表格來確定nmax：

方程式15

事實(shí)上，當(dāng)處理頻帶有限且功率有限的一般調(diào)制信號(hào)時(shí)，我們通常使用卡森規(guī)則作為估計(jì)FM帶寬的便捷方法。

示例2：廣播調(diào)頻電臺(tái)的帶寬

美國聯(lián)邦通信委員會(huì)（FCC）允許商業(yè)調(diào)頻廣播的頻率偏差Δf=75 kHz。通常假設(shè)最高音頻頻率為W=15kHz，導(dǎo)致偏差比為：

方程式16

應(yīng)用卡森定律，F(xiàn)M信號(hào)帶寬為：

方程式17

在實(shí)踐中，廣播FM頻道的寬度為200 kHz，略大于上述估計(jì)值。這樣做的目的是降低接收器的選擇性要求。

總結(jié)

FM波傳輸?shù)闹匾厧?shù)量取決于預(yù)期的應(yīng)用和保真度要求。有幾種方法可以確定FM波傳輸所需的帶寬。特別是，卡森法則是一種方便的估計(jì)方法，具有合理的準(zhǔn)確性。