在本文中，我們將通過一系列示例問題來說明卡森規(guī)則在帶寬估計(jì)中的有用性。

本系列的早期文章探討了調(diào)頻波帶寬的原理。在本文中，我們將通過使用卡森規(guī)則進(jìn)行FM波帶寬計(jì)算的幾個(gè)詳細(xì)示例來鞏固這些概念。正如我們之前討論的那樣，這是一種確定FM信號(hào)有效帶寬的方便方法。

卡森法則由下式給出：

方程式1

其中：

Δf為頻率偏差

fm是調(diào)制頻率

β是調(diào)制指數(shù)。

有了這些，讓我們直接跳到例子中！

示例1：音調(diào)調(diào)制波的帶寬

作為我們的第一個(gè)例子，讓我們估計(jì)以下FM信號(hào)的傳輸帶寬：

方程式2

示例1的解決方案

為了使用卡森法則解決這個(gè)問題，我們需要知道上述信號(hào)的Δf和fm的值。回想一下，調(diào)頻調(diào)頻波的一般形式由下式給出：

方程式3

其中Ac是載波信號(hào)的幅度，fc是其頻率。

將該方程與方程2進(jìn)行比較，我們看到fm為：

方程式4

接下來，我們需要找到頻率偏差（Δf）。為此，我們首先需要確定瞬時(shí)頻率。瞬時(shí)頻率是正弦曲線參數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

方程式5

由此可知，以Hz為單位的頻率偏差為：

方程式6

我們現(xiàn)在知道調(diào)制頻率（fm=318.31 Hz）和頻率偏差（Δf=63.66 kHz）。將這些值代入卡森方程，我們得到近似帶寬：

方程式7

或者，我們可以按照與fm相同的方式確定調(diào)制指數(shù)（β）。這種方法可以獲得相同的結(jié)果，而不需要我們計(jì)算頻率偏差。

比較方程式2和3，我們得到β=200。然后我們應(yīng)用卡森規(guī)則的第二種形式：

方程式8

示例2：將角度調(diào)制波解釋為FM或PM波

讓我們?cè)倏匆幌路匠淌?中的信號(hào)。為方便起見，現(xiàn)轉(zhuǎn)載如下：

方程式9

盡管我們之前將其稱為FM信號(hào)，但方程9中的角度調(diào)制波可以是相位調(diào)制（PM）或頻率調(diào)制（FM）。在任何一種情況下，我們都可以應(yīng)用卡森規(guī)則來找到帶寬。然而，改變調(diào)制信號(hào)的頻率對(duì)PM和FM信號(hào)的頻譜有不同的影響。

如果我們假設(shè)s（t）是PM波，它的帶寬如何隨fm變化？如果是調(diào)頻波呢？讓我們來看看！

示例2作為PM波

由單頻消息信號(hào)m（t）=Ampcos（2πfmt）產(chǎn)生的PM波也可以用以下方程描述：

方程式10

其中kp是相位偏差常數(shù)。

將方程10與方程3中信號(hào)的一般形式進(jìn)行比較，我們看到β等于kpAmp，與fm無關(guān)。使用卡森方程，帶寬由下式給出：

方程式11

因?yàn)樗cfm無關(guān)，所以β保持不變。因此，帶寬與fm成正比。例如，我們目前的調(diào)制指數(shù)為β=200，調(diào)制頻率為fm=318.31 Hz。如果我們將調(diào)制頻率增加兩倍，PM信號(hào)的帶寬也會(huì)從127.96kHz加倍到255.92kHz。

接下來，讓我們將s（t）解釋為FM波。

示例2作為FM波

對(duì)于音調(diào)調(diào)制的FM信號(hào)，可以很容易地證明調(diào)制指數(shù)由下式給出：

方程式12

請(qǐng)注意，β與fm成反比。如果我們將fm從318.31 Hz加倍到636.62 Hz，調(diào)制指數(shù)從200減半到100。應(yīng)用卡森定律，帶寬為：

方程式13

與PM波不同，F(xiàn)M波的帶寬僅隨調(diào)制頻率略有變化。

示例3：雙音消息信號(hào)產(chǎn)生的FM波

考慮一個(gè)由兩個(gè)正弦曲線組成的消息信號(hào)：

方程式14

這會(huì)產(chǎn)生以下形式的FM波：

方程式15

讓我們使用卡森規(guī)則來估計(jì)以下參數(shù)值的s（t）帶寬：

β1 = β2 = 5

fc=5 kHz

f1=2赫茲

f2=53Hz。

示例3的解決方案

與示例1一樣，我們需要確定瞬時(shí)頻率（?i），以找到頻率偏差（Δf）。對(duì)正弦曲線的論證進(jìn)行導(dǎo)數(shù)，我們得到：

方程式16

因此，Δf（單位為Hz）為：

方程式17

請(qǐng)注意，方括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)余弦項(xiàng)在某些點(diǎn)（例如t=0時(shí)）同相。因此，最大值等于各個(gè)余弦波的振幅之和。

為了找到信號(hào)帶寬，我們用消息信號(hào)中包含的最高頻率（W）替換卡森方程中的fm。注意到在這種情況下W=53 Hz，我們有：

方程式18

圖1顯示了載波頻率（fc=5kHz）附近的輸出頻譜。通過對(duì)調(diào)制信號(hào)執(zhí)行FFT來獲得頻譜。

載波頻率附近的調(diào)頻波頻譜。

圖1 載波頻率（fc=5kHz）附近的FM波頻譜

此圖中陰影的品紅色區(qū)域表示根據(jù)卡森規(guī)則獲得的帶寬，范圍從4672 Hz到5328 Hz。雖然卡森規(guī)則很好地估計(jì)了信號(hào)帶寬，但我們?cè)谏厦婵吹剑赡茉谝欢ǔ潭壬系凸懒藢?shí)際調(diào)頻系統(tǒng)的帶寬。

請(qǐng)注意，當(dāng)消息信號(hào)由f1和f2的兩個(gè)音調(diào)組成時(shí)，對(duì)于所有可能的n和m值，F(xiàn)M信號(hào)包括fc+nf1和fc+mf2以及fc+nf1+mf2的頻率分量。如圖2所示，圖2提供了圖1在載波頻率附近的特寫。

載波頻率附近FM波頻譜的特寫視圖。

圖2 載波頻率附近FM波頻譜的特寫視圖

該圖顯示了各種頻率分量的頻率和振幅，清楚地顯示了邊帶出現(xiàn)的頻率。例如，我們?cè)谝韵挛恢糜羞厧В?/p>

fc+f1=5002 Hz，fc+2f1=5004 Hz…

fc+f2=5053 Hz，fc+2f2=5106 Hz…

fc+f1+f2=5055 Hz，fc+2f1+f2=5057 Hz…

fc+f1+f2=5055 Hz，fc+f1+2f2=5108 Hz…

對(duì)于包含高頻分量（f2）和低頻分量（f1）的雙音消息信號(hào)，我們觀察到一個(gè)有趣的特性，即fc+mf2周圍的邊帶分量類似于載波頻率為fc+mf 2、調(diào)制頻率為f1的FM波。

示例4：三角波產(chǎn)生的FM波

對(duì)于我們的最后一個(gè)例子，我們將考慮一個(gè)周期性的三角消息信號(hào)，它從-1上升到1，然后再回到-1。如圖3所示，它以2ms的周期重復(fù)自身。

我們將使用周期性三角波來生成FM信號(hào)。

圖3 我們將使用周期性三角波來生成FM信號(hào)

如果頻率偏差常數(shù)（kf）為5kHz/V，載波頻率為fc=25kHz，則估計(jì)上述消息信號(hào)產(chǎn)生的FM波的帶寬。

示例4的解決方案

對(duì)于任意m（t），我們可以應(yīng)用根據(jù)偏差比（D）編寫的卡森規(guī)則來估計(jì)帶寬：

方程式19

其中W是消息信號(hào)中包含的最高頻率。

偏差比由下式給出：

方程式20

為了確定W，我們將檢查圖3中三角波消息信號(hào)的頻譜。該光譜如圖4所示。

消息信號(hào)的單側(cè)頻譜。

圖4 消息信號(hào)的單側(cè)頻譜

基頻為500Hz，高次諧波迅速下降。例如，2500 Hz的五次諧波的振幅僅為基波的4%，導(dǎo)致功率僅為基波功率的0.16%。

讓我們假設(shè)三次諧波是信號(hào)的最高有效頻率分量（W=1500Hz）。注意到m（t）的最大值為1，方程式20得出：

方程式21

這導(dǎo)致估計(jì)帶寬為：

方程式22

圖5顯示了載波頻率（fc=25kHz）附近的調(diào)制信號(hào)的頻譜。

載波頻率附近的調(diào)頻波頻譜。

圖5 載波頻率（fc=25kHz）附近的FM波頻譜

在上圖中，陰影洋紅區(qū)域再次表示根據(jù)卡森規(guī)則獲得的帶寬。很明顯，卡森規(guī)則在這種情況下有效地估計(jì)了信號(hào)帶寬。

總結(jié)

在這篇文章中，我們使用卡森規(guī)則檢查了四個(gè)不同的帶寬計(jì)算示例。這種有用的近似方法捕獲了FM波的大部分（至少98%）重要邊帶能量，使其成為頻譜規(guī)劃和分析的實(shí)用工具。

當(dāng)我們?cè)谶@里結(jié)束時(shí)，重要的是要注意，我們?cè)诒鞠盗形恼轮械拇蟛糠钟懻摱技性谡{(diào)頻調(diào)頻波上。現(xiàn)實(shí)世界的信息信號(hào)要復(fù)雜得多。盡管研究單音案例可以為FM波的某些特性提供有價(jià)值的見解，但概括這些發(fā)現(xiàn)有時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生誤導(dǎo)。例如，F(xiàn)M在單音輸入下的輸出信噪比是PM的三倍，但這并不適用于大多數(shù)實(shí)際信號(hào)。