一種網絡編碼和信道編碼的聯合設計
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假設發送的數據包具有相同的長度N，二進制比特ui,j∈{0，1}相互獨立并均勻分布，j=0，1，2，…，N-1，并假設節點n1和n2使用了相同的信道編碼方式，即使用LDPC編碼器進行編碼；Γ表示LDPC編碼器的映射函數；Γ-1表示LDPC解碼器的映射函數；Di=[di,0，di,1，di,2，…，di,M-1]表示LDPC編碼器編碼之后的碼字，長度為M，di,m∈{0，1}，i=1，2；碼速為N／M，則：
由于LDPC碼是一種線性碼，并且網絡編碼也具有線性映射關系。在特殊情況下，即沒有傳輸錯誤的情況下：
假設系統考慮BPSK調制，該系統也能夠被擴展到QPSK調制，以致高速率的16QAM調制，則Xi=[xi,0，xi,1，xi,2，…，xi,M-1]表示調制后的符號，能夠被表示成：
Y=[y0，y1，y2，…，yM-1]是多接入信道的輸出，可以表示為：
式中：nj表示加性高斯白噪聲項；方差為σ2。由于考慮BPSK信道調制，則ξj=2或-2或0。
若在中繼節點n3處采用軟檢測電路，則可以用對數似然比函數(LLR)表示軟檢測電路的輸出信號，即可推出式(7)：
式中：L()表示對數似然比函數。由式(1)和(2)可推出：
當加性高斯白噪聲信道的輸入為s時，則輸出yj可表示為：
式中：Eb表示每比特的傳輸能量；σ2表示噪聲方差。
由式(8)可知，數據包*****被LDPC編碼器編碼和BPSK調制映射方式進行調制，則LDPC解碼器就能夠對其進行解碼，即：
本文引用地址：http://cqxgywz.com/article/156706.htm3 信道容量分析
文獻僅僅分析了：BSC信道的物理層網絡編碼容量，本文進一步分析了高斯信道(AWGN)下BPSK調制的信道容量。
圖3是基于高斯信道的物理層網絡編碼和信道編碼聯合設計的等效虛擬系統。其中，虛擬信道(VC)是整個信道的子信道，子信道的輸入為Xi，輸出為Yi，Zi表示子信道的噪聲。即：
Xi+Zi=Yi，，去掉下標i，則：X+Z=Y。
虛擬信道(VC)的信道容量為Cv。則：
Cv=I(x；y)=h(y)-h(y／x)=h(y)-h((x+z)／x)=h(y)-h(z) (12)
式中：h(y)表示接收信號信息熵；h(z)表示噪聲信息熵，則。
Y=X1+X2+Z=ρ+Z (13)
式中：X1，X2分別表示節點n1，n2在i時刻的輸入。因為X1，X2和Z是相互獨立的，所以ρ和Z是相互獨立的。則虛擬信道的輸出Y的概率密度函數(PDF)：
式中：p()表示()發生的概率；g()表示正態分布的概率密度函數，則：
由于每比特的傳輸能量為Eb，并且采用BPSK調制，則可知：
則由式(12)，式(16)，式(17)可以計算出基于BPSK調制的高斯白噪聲子信道的信息容量Cv。
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