在這篇文章中，我們將研究改變調制音調的幅度和頻率如何影響FM信號的帶寬。我們還將比較AM和FM方案中的調制指數。

在本系列的前面，我們研究了單頻信息信號產生的FM波的頻譜。在本文中，我們將通過分析調制信號的頻率和幅度對音調調制FM波頻譜的影響來繼續討論。在文章的最后，我們還將看看AM和FM中的調制指數參數是如何相互不同的。

調頻調頻頻譜

圖1顯示了當載波振幅為1時，音調調制FM波的典型頻譜。

單音消息信號的FM信號的典型頻譜。

圖1 單音消息信號的FM信號的典型頻譜

頻譜包括由調制頻率（fm）分隔的不同音調。這些音調出現在載波頻率（fc）和邊帶頻率fc±fm、fc±2fm、fc？fm等處。第n邊帶的幅度由第一種貝塞爾函數Jn（β）縮放，其中β表示調制指數。

調制指數由下式給出：

方程式1

其中：

Am是調制信號的振幅

kf是頻率偏差常數

Δf是最大頻率偏差。

在上面的方程中，我們看到β與Δf成正比，與fm成反比。由于這兩個參數影響β，因此可以合理地假設它們也影響fm信號的帶寬。在本文的下兩節中，我們將測試這一假設——首先是峰值頻率偏差，然后是調制頻率。

調頻波的帶寬如何隨頻率偏差而變化？

考慮一個由4Hz正弦信號頻率調制的2kHz載波。如果峰值頻率偏差為Δf=20Hz，則調制指數為β=5。圖2是通過對調制信號進行FFT得到的，顯示了載波頻率（fc=2 kHz）附近的輸出頻譜。

當Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5時，調頻調頻波的頻譜。

圖2 當Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5時，調頻調頻波的頻譜

對該輸出頻譜的目視檢查表明，信號的帶寬符合卡森定律。應用卡森規則，信號的帶寬估計為：

方程式2

在本節中，我們將保持fm不變，并改變峰值頻率偏差（Δf）。我們將從將頻率偏差加倍到Δf=40 Hz開始。應用方程式1，我們現在有β=10。圖3顯示了最終的輸出光譜。

當Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10時，調頻調頻波的頻譜。

圖3 當Δf=40 Hz、FM=4 Hz和β=10時，調頻調頻波的頻譜

我們再次使用卡森規則來計算帶寬：

方程式3

這比我們之前的值大得多。比較圖2和圖3，我們可以看到輸出頻率分量之間的間距保持不變。這是因為音調分離是由恒定的調制頻率決定的。然而，Δf加倍會使調制指數加倍。這增加了重要邊帶的數量，從而增加了帶寬。

最后，讓我們將Δf增加到80 Hz。當fm=4 Hz時，我們得到β=20，帶寬為：

方程式4

這種情況下的輸出頻譜如圖4所示。

當Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20時，調頻調頻波的頻譜。

圖4 當Δf=80 Hz、FM=4 Hz和β=20時，調頻調頻波的頻譜

在固定的調制頻率下，輸出頻率分量之間的間距再次保持不變。正如預期的那樣，增加頻率偏差會增加帶寬。如果fm比Δf小，我們有：

方程式5

這意味著帶寬幾乎與Δf成正比。

調頻波的帶寬如何隨調制頻率而變化？

接下來，讓我們看看如果我們保持頻率偏差（Δf）恒定，但改變調制頻率（fm）會發生什么。Δf=20 Hz、fm=4 Hz和β=5的輸出頻譜如圖5所示。

Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的調頻調頻波頻譜。

圖5 Δf=20 Hz、FM=4 Hz和β=5的調頻調頻波頻譜

請注意，這些值與我們在圖2中使用的值相同。光譜看起來略有不同，因為x軸上顯示了不同的范圍。

如果我們將調制頻率降低到fm=2 Hz，我們得到了圖6中的頻譜。

Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波譜。

圖6 Δf=20 Hz、FM=2 Hz和β=10的FM波譜

正如我們之前提到的，將fm減半會使調制指數加倍，達到β=10。因此，重要邊帶的數量增加了。然而，由于fm決定了頻率分量之間的間距，邊帶會彼此靠近。由于這種雙重效應，我們預計調頻帶寬會隨著調制頻率的變化而略有變化。

讓我們用卡森法則來驗證這一點。回想一下，對于Δf=20 Hz和fm=4 Hz，我們有：

方程式6

當fm=2 Hz時，我們得到：

方程式7

請注意Δf和fm如何以不同的方式與帶寬相互作用：Δf對帶寬有很大的影響，但fm的影響很小。例如，在我們的第一組模擬中，20 Hz的峰值頻率偏差對應于48 Hz的帶寬。當我們將頻率偏差加倍到Δf=40 Hz時，帶寬也幾乎加倍了——我們從BW=48 Hz變為BW=88 Hz。相比之下，將fm減半只會略微降低帶寬（從48 Hz降低到44 Hz）。

在最后一次模擬中，我們將把調制頻率降低到fm=1 Hz。這產生了圖7中的光譜。

Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20時的FM波頻譜。

圖7 Δf=20 Hz、FM=1 Hz和β=20時的FM波頻譜

我們現在的帶寬為：

方程式8

這僅略小于之前的值。如果我們比較我們為最后三個數字計算的帶寬，我們發現減少fm會導致頻率分量擠進固定頻率區間：

方程式9

大β值時的FM帶寬

在我們繼續之前，讓我們看看當β接近無窮大時FM帶寬的特殊情況。我們使用與之前相同的公式確定FM帶寬：

方程式10

對于較大的β值，FM波的帶寬接近2Δf。您可以通過檢查圖4和圖7來驗證這一點，這兩個圖都對應于調制指數β=20。

調制指數：AM與FM

最后，我想對比一下AM和FM方案的調制指數參數。如果我們比較由下式給出的調頻信號：

方程式11

下面再現了傳統的AM信號方程：

方程式12

我們觀察到參數β和μ在各自的調制方案中起著類似的作用。在這兩種情況下，它們都控制著調制量。然而，它們也顯示出顯著的差異：雖然FM的帶寬取決于β，但AM的帶寬與μ無關。

此外，回想一下，β與調制信號的幅度（Am）成正比，與調制信號頻率（fm）成反比。因此，FM波的帶寬取決于Am和FM。Am方案中的情況并非如此。

對于AM，當消息信號的最大值不超過1時，我們通常會強制約束μ≤1以簡化接收器。這使我們能夠使用簡單的包絡檢波器進行解調。為了獲得最佳結果，選擇盡可能接近單位的μ以最大化恢復的消息信號的幅度是有益的。

較大的β也會導致FM中恢復的消息信號更強。雖然在傳統AM中選擇μ≤1，但FM方案不會對β的最大值施加這種約束。相反，FM出于另一個原因對β施加了約束：調制波的占用帶寬。從方程10中，我們知道大β的FM波帶寬約為BW=2Δf=2βFM。因此，對于給定的調制頻率，β的最大值由允許的頻率帶寬決定。

總結

在這篇文章中，我們研究了Δf和fm的變化如何影響調頻調頻信號的帶寬。通過一系列模擬，我們發現Δf的變化極大地影響了帶寬。相比之下，改變形式的影響相對較小。我們還了解到，對于較大的β值，FM波的帶寬接近2Δf。

最后，我們比較了AM和FM方案中的調制指數。在傳統的AM中，我們通常使用小于或等于1（μ≤1）的調制指數來簡化接收器。然而，在FM中，調制指數的最大值由允許的FM帶寬決定。