這種經典的圖形工具現在很少使用，但有一個應用程序仍然占主導地位。

早在“公元前”時代（在計算器/計算機出現之前），與基本工程情況相關的計算就很難進行，特別是當它們涉及多個步驟、變量或非線性因素時。基本計算涉及常用的功能，例如在已知壓力經給定直徑管道的水量，或由具有定義直徑和線規的特定匝數制成的單層線圈的電感。

在某些情況下，結果需要精確到三位甚至四位數字;然而，在許多現實世界中，粗略的評估僅為兩位數甚至第三位數就足以用于估計和規劃目的。此外，在某些情況下，設計人員想要走“假設”路線，探索更改一個或多個變量的權衡和影響。例如，設計人員可能想了解“如果我使用較重規格的導線，我將使用多大的線圈直徑和匝數來保持相同的電感？

現在解決這些問題的明顯方法是進行一次甚至多次計算，或者如果標準應用程序不可用，則可能設置電子表格。但在數字計算出現之前，這非常耗時，而且通常無法提供更廣泛的洞察力。

這就是為什么列線圖——也稱為列線圖;我們將堅持使用列線圖——被廣泛使用。這些是變量的特定于應用程序和方程的圖形表示，其布局以便用戶可以標記已知變量，然后使用標尺將它們鏈接起來，突出顯示問題的答案。這些方便的“模擬”工程工具被用于所有工程學科以及許多醫療和工業場合。他們可以“求解”線性、逆、二次、三次和三角關系。

盡管用于“模擬”計算的列線圖現在已基本過時，但它們的眾多優點之一是用戶不必知道如何求解代數方程、在表格中查找數據或將數字代入方程即可獲得結果（誠然，現在有應用程序可以為您完成所有這些工作）。用戶甚至不需要知道列線圖所代表的基本方程，這既有好有壞。

列線圖通常用于它們提供的適度精度水平足夠且有用的應用。現實情況是，許多現實世界的工程情況需要一個準確到百分之幾的答案，尤其是在他們的一級分析中。

此外，列線圖可幫助設計人員輕松探索“假設”場景，以查看同時改變一個或多個變量的影響。這提供了標稱值周圍結果敏感性的指示——這是許多設計中非常重要的因素。

最后，它們可以充當答案或計算的交叉檢查（有時稱為“健全性檢查”），因為它們可以幫助設計人員“大致正確”而不是完全錯誤——對于由高精度計算支持的誤導性模型來說，這是一個很容易犯的錯誤。圖形表示提供了視角，而不僅僅是插入數字并以“是的，當然，這有道理”的天真態度接受結果。

列線圖提供了一種快速、簡單、準確且相當精確的方法來直觀地解決問題或查看更改變量對大局的影響。列線圖非常受歡迎，以至于《大眾電子》、《廣播電視》和《電子世界》等主要出版物在每一期中都會推出一個新列線圖，然后經常將它們合并成一本書（參見 [1]）。這些列線圖涵蓋了基本的電子工程問題，例如分貝電壓和功率轉換、濾波器設計、散熱和熱流、衰減曲線等。

根據維基百科，列線圖是由法國工程師菲爾伯特·莫里斯·多卡涅（Philbert Maurice d'Ocagne，1862-1938 年）于 1884 年發明的，用于求解土方工況下的土壤體積位移方程。我知道維基百科并不總是正確的，但這篇文章確實引用了他在 1899 年發表的一篇關于該主題的論文，所以有一定的可信度。

從一個基本示例開始

對于當時的大多數電氣工程師來說，他們的“首選”列線圖是顯示并聯放置的兩個已知電阻器 R1 和 R2 的總電阻 RT 的列線圖。這種非常常見的電路配置由一個適度的方程定義：

RT = （R1 × R2）/R1 + R2）

可以通過多種方式創建列線圖，其中一種格式如圖 1 所示。

圖 1.并聯電阻器的列線圖被廣泛使用，因為它求解了這種通用布置的方程。（圖片：TAB Books 來自世界廣播歷史)

該列線圖可用于查找兩個已知電阻并聯的值，或確定必須將哪個值的電阻器與已知電阻并聯放置才能產生所需的值。

對于第一種情況，要找到 560 kΩ （R1） 與 130 kΩ （R2） 并聯的電阻，只需從 R1 刻度上的第一個值到 R2 刻度上的第二個值放置或繪制一條直線即可。當線路與R1和R2刻度之間的RT線相交時，可以立即看到90 kΩ的并聯值。

相同的列線圖對于解決逆問題也非常有用：分流 560 kΩ 電阻器以獲得 390 kΩ 的并聯值需要多少電阻值？在 R2 刻度上穿過 56 kΩ 和 RT 刻度上穿過 39 kΩ 的三個刻度上放置或繪制直尺。解是直尺與 R1 刻度相交的點;在這種情況下，它略低于 130 kΩ 值。

你不得不承認，這既快速又簡單！

更復雜的列線圖

圖 2.列線圖可以有的不僅僅是幾條直線，如這條直線所示，用于確定已知尺寸、粗糙度和其他因素的涵洞中的水壓（水頭）。（圖片：密蘇里州交通部)

機械工程、建筑和水利工程（僅舉一些學科）的非電子出版物和手冊也有有用的列線圖。例如，水利工程師使用列線圖來快速估計流經涵洞的水壓力，這可以通過管道流量公式[2]進行建模：

涵洞是一種隧道或封閉通道，允許水在公路、鐵路或其他障礙物動，為水從路堤的一側流向另一側提供通道。

哪里：

H = 總水頭，英尺。

ke= 給定入口的入口損耗系數。系數“k”的設計值e“在單獨的”入口損耗系數表“中給出

n = 涵洞桶的粗糙度系數。系數“n”的設計值在單獨的表格“各種材料的粗糙度系數表”和 EPG 750.1.4.1.1“復合粗糙度”中給出。

L = 涵洞筒的長度，英尺。

R = 涵洞筒的液壓半徑，英尺。

Q = 涵洞流量（以英尺為單位）3/秒

A = 涵洞水道面積（英尺）2

雖然這可以通過 PC 或智能手機上的應用程序輕松計算，但圖 2 中的列線圖給出了快速答案，并更好地了解參數之間的相互作用以及更改參數值的影響。

史密斯圖

有一種列線圖仍然廣泛用于射頻設計：史密斯圖，如圖3所示。

圖 3.史密斯圓圖大大簡化了對射頻電路中阻抗和其他因素的分析和理解;盡管可以追溯到 1930 年代，但它仍然是一種廣泛使用的圖形設計工具。（圖片：維基百科)

該圖表由 William Smith 在 1930 年代設計，使用極坐標，是設計人員用于分析傳輸線或射頻電路阻抗和關系、阻抗匹配和變換以及深入了解電路穩定性和其他作因素的主要分析工具之一。

在其眾多可視化中，這張公認不直觀的圖表顯示了當前的阻抗狀態以及可用于使用電感器和電容器匹配阻抗的路徑。當然，圖表現在幾乎總是在屏幕上使用，通常與網絡分析儀結合使用，而不是紙質，但它的原理沒有改變，它的實用性仍然無與倫比。

甚至醫學界也使用列線圖。對于基本統計，它們用于確定需要多少樣本（人）才能在醫學測試中具有確定的置信度。此外，例如，使用特殊的列線圖來評估癌癥治療的成功和生存概率，因為有許多醫學變量同時“在運動”（參見 [3]）。

通過以圖形方式表示每個預測因子對結果的影響，醫生可以“估計”所有預測因子對給定患者的影響總和，并預測 1 年、3 年和 5 年生存的概率。列線圖可以成為呈現和幫助理解臨床預測模型的有用工具。這比事先在電腦中對公式進行編程或拿出手機手動輸入所有系數要容易，后者很可能會引發錯誤。

結論

不可否認，列線圖/列線圖在協助設計人員進行工程分析方面不再發揮重要作用。盡管如此，這種經典的求解方程的圖形方法的強大功能和便利性應該因其在提供洞察力方面的強大功能和便利性而得到認可。史密斯圖是一種仍在廣泛使用的列線圖，它清楚地證明了圖形工具如何提供“模擬”計算以及對設計問題及其許多參數和完成路徑的理解。