承上文，我們應用簡單的Fulop模型對平行平面結(jié)進行了分析，對復雜的Chynoweth模型進行了化簡，由化簡的公式可得碰撞電離率積分和外加電壓之間存在一定的關系。

這一關系通常可以用Miller公式^[38]表征，即：

其中的I為碰撞電離率積分，V為外加電壓，V_B為結(jié)的擊穿電壓，S為Miller常數(shù)。

在設計器件時，耐壓設計是很重要的一環(huán)。這關系到耐壓區(qū)摻雜，厚度等一系列問題。Miller公式可以用于判斷開基區(qū)晶體管或Shockley二極管的正向阻斷電壓。Miller公式中S參數(shù)與摻雜濃度存在著密切關系。

此次，我們將基于已有的Miller公式，應用MATLAB對不同漂移區(qū)摻雜濃度下的S參數(shù)進行確定，提出參數(shù)S與漂移區(qū)摻雜濃度N的擬合公式，并驗證其準確性。

此處依然采用MEDICI中的準確的Chynoweth模型對碰撞電離率積分進行提取：

由于隨著外加電壓的增大，a_n,ii和a_p,ii的變化趨勢和大小相差很小，假設電子與空穴的碰撞電離率近似相等。

因此碰撞電離積分可表示為：

當電壓達到雪崩擊穿電壓時，電流急劇上升，勢壘區(qū)流出的載流子電流遠遠大于流進的載流子電流，二者的比值稱為雪崩倍增因子，用符號M來表示。

經(jīng)計算M與碰撞電離率之間關系為：

當發(fā)生雪崩擊穿時，M趨向于無窮大，則I等于1，即碰撞電離率積分等于1時的外加電壓就是所謂的雪崩擊穿電壓V_B。此時勢壘區(qū)對應的最大電場為擊穿電場E_c。

可以采用extract語句在MEDICI對碰撞電離率積分進行提取。

在對P⁺N結(jié)構(gòu)仿真中，先將P區(qū)濃度固定為1×10¹⁸ cm^-3，N區(qū)濃度為5×10¹⁵cm^-3，P區(qū)長度設為20μm，N區(qū)長度如圖1所示保證為非穿通型即可。

然后對PN結(jié)施加反向電壓V_KA，當碰撞電離率積分達到1時，對應的雪崩擊穿電壓V_B為85.2 V。碰撞電離率積分伴隨著外加電壓的增大而增大。

對于S值，可以將碰撞電離率積分與外加電壓在MATLAB中應用I1 = (V/85.2)^S進行數(shù)據(jù)擬合得到為6.118。

為了驗證擬合的準確性，將S與VB兩個常數(shù)帶入到3-16中得到I1 = (V/85.2)^6.118，分別做出了I₁-V曲線圖與I₂-V曲線圖。I₁-V是通過擬合得到的Miller公式中碰撞電離率積分與外加電壓的關系曲線，I₂-V是由MEDICI直接提取出來的碰撞電離率積分與外加電壓的關系曲線。

結(jié)果下圖1所示：

從圖1中可以看出擬合出的碰撞電離率積分與外加電壓的關系曲線（紅色曲線）與提取出的碰撞電離率積分與外加電壓關系曲線圖（黑色曲線）幾乎完全重合。

經(jīng)計算，其最大誤差為0.23 %，證明了通過這種擬合方法得到的S參數(shù)值是可靠的。這一誤差可能來自S參數(shù)的單一取值，因為S參數(shù)會隨外加偏壓的變化而變化，當電壓較小時S比較小，偏壓增大時S也增大，所以反向電壓接近擊穿電壓V_B時，電流的增長是極為迅速的。

S參數(shù)還和摻雜濃度的大小密切相關，雖然上面的擬合方式存在誤差，但準確性是可以接受的。為了得到S參數(shù)與摻雜濃度的關系式，可以采用相同的仿真方法，P區(qū)濃度不變，N區(qū)濃度從4×100¹³ cm^-3到9×10¹⁵ cm^-3依次增大，得到在不同N區(qū)摻雜濃度下的雪崩擊穿電壓V^B和對應的S值。

具體結(jié)果如表1所示：

從表1中可以看出隨著N區(qū)摻雜濃度的變大，擊穿電壓和S值逐步下降。

做出S-N關系曲線，推測S參數(shù)與摻雜濃度N之間存在冪函數(shù)的關系。因此分別采用s=a×N_b和s=a×N_b+c對S-N進行MATLAB擬合。

得到了如下兩個關系式：

(5)

對于這兩個近似公式的準確性，分別做出S-N, S₁-N和S₂-N三條曲線。

其中S-N是基于Miller公式提取出來的S與N的關系曲線，S₁-N和S₂-N是分別采用式4與5得到的S與N的關系曲線，如圖2所示。從圖2中可以看出上面兩式擬合出的曲線與真實曲線基本重合，經(jīng)計算4式的最大誤差0.25%，5式的最大誤差為0.18 %。

因此可以根據(jù)摻雜情況，應用這兩個擬合公式，確定S參數(shù)的大小，再應用Miller公式進一步明確外加電壓與碰撞電離率之間的關系。

圖2 擬合曲線與真實曲線的比較

不同摻雜濃度下的S和V_B的確定還可以用于計算開基區(qū)晶體管的正向阻斷電壓。

由于開基區(qū)晶體管擊穿條件為αM = 1，因此

其中S和VB可以根據(jù)濃度應用擬合公式得到，α的定量計算超出本文的討論范圍。因此V_FB就可以計算出來。

本文闡述了雪崩擊穿電壓與輕摻雜區(qū)濃度變化的關系，對碰撞電離率積分與外加偏壓的關系和Miller公式中S參數(shù)與輕摻雜區(qū)濃度的關系應用MATLAB進行了擬合，得到了近似的I-V表達式，S-N表達式，并對這些表達式進行了準確性的驗證。

這種關系的確定，對分析開基區(qū)晶體管或晶閘管（如Shockley二極管）的正向阻斷電壓時有一定的借鑒意義。

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