除了介紹卡森規則進行帶寬估算外，本文還解釋了如何根據邊帶或信號總功率計算所需的傳輸帶寬。

在本系列的早期，我們深入探討了由單頻消息信號（也稱為調頻波）產生的調頻波頻譜。正如我們所學，這個頻譜由無限多個邊帶組成。然而，只有有限數量的這些邊帶包含顯著的功率。在確定傳輸信號所需的帶寬時，只需要考慮顯著的邊帶。

但在這個語境中，“顯著”是什么意思？我們如何回答這個問題將有效地決定我們在設計中愿意接受的失真水平。我們可以通過容納更多的頻譜分量來減少失真。

在本文中，我們將討論兩種定義調頻信號有效帶寬的不同方法。然后，我們將學習卡森法則，這是一種簡單且相當準確估算方法。盡管這些方法基于對調頻波的頻譜分析，但它們也可以用于找到其他調頻信號的傳輸帶寬。

調頻波

對于任意調制指數β，調頻波的一階調幅方程可以寫為：

$$={}^{}{}^{}\cos +$$

公式 1。

其中 Ac 是載波波的振幅。

第 n 階旁瓣分量由第一類貝塞爾函數 Jn(β) 進行縮放。圖 1 顯示了調制指數β為 1 時調頻波的典型頻譜。

圖 1。 單音調消息信號 FM 信號的典型頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

嚴格來說，FM 波的帶寬是無限的。這從公式 1 中很明顯。然而，對于大的 n，Jn(β)可以近似為：

公式 2.

這意味著 Jn(β)對于足夠大的 n 值趨近于零。因此，FM 波的所有旁瓣并不都包含顯著功率。

基于相對邊帶幅度的有效帶寬

一種定義調頻信號有效帶寬的方法是忽略相對幅度低于設定閾值的邊帶。在數學上，我們定義傳輸帶寬為：

$$=$$

公式3

fm 是消息信號的頻率

nmax 表示在 |Jn(β)| 超過定義閾值的最高整數索引。

在公式 3 中，我們乘以 2nmax 乘以 fm，因為頻譜分量以 fm 的間隔分布（見圖 1）。對于給定的 β，nmax 的值可以很容易地從 Jn(β) 的表格值中確定。例如，考慮 β = 2 的 Jn(β) 以及表 1 中顯示的各種 n 值。

表 1。 Jn(β) 對于 β = 2 和各種 n.

假設我們將閾值設置為未調制載波的 1%。滿足|Jn(β)| > 0.01 的最高 n 值是 nmax = 4，對于β = 2，導致有效帶寬 BW = 8fm。

或者，我們也可以將顯著性閾值設為 1%。圖 2 顯示了 nmax 作為β的連續函數，適用于 1%和 10%標準。

圖 2。 顯著邊帶對數作為 β 的函數。圖片由 A. B. Carlson 提供版權。

對于 1%閾值，帶寬通常過于保守。另一方面，10%閾值會導致輕微但可察覺的失真。對于大多數應用，nmax 值在這兩個極限之間通常是合適的。

在某些情況下，特定閾值的有效帶寬作為 BW/Δf 對β的圖提供。圖 3 顯示了 1%閾值的這種圖。 

圖 3。 帶寬（BW/Δf）與調制指數β的關系圖 。 圖片由西蒙·海金提供

基于功率的方法定義有效帶寬

我們也可以將有效帶寬定義為包含特定比例總功率的頻率范圍。例如，如果所選帶寬捕獲了 FM 波 98%或更多的功率，那么失真通常被認為是可接受的。

讓我們使用表 1 中的數據來確定β=2 時捕獲 FM 波 98%或更多功率的帶寬。FM 波的功率與 N 邊帶是：

$$={}^{}{}^{}$$

公式4。

FM 信號的總功率由下式給出：

$$=$$

公式 5。

我們想要確定滿足以下條件的最小值 N：

$$\ge \times \to {}^{}{}^{}\ge$$

公式 6。

將表格 1 中的數據代入并應用性質|J-n(β)| = |Jn(β)|，我們得到：

$$+++\dots +\ge$$

公式 7。

滿足上述方程的最小 N 值為 N = 3，導致在β = 2 時，有效帶寬為 BW = 6fm。

卡森規則

有趣的是，如果我們考慮不同β值下 FM 波 98%或更多功率的帶寬，我們會發現顯著邊帶的數量始終為 N = β + 1。這就是卡森規則。

根據卡森規則，包含調頻波98%或更多功率的傳輸帶寬為：

$$=+$$

公式 8。

上述公式也可以寫成：

$$=+$$

公式9。

其中 Δf 是最大頻率偏移。請注意，公式 8 和 9 也適用于 β ? 1 的情況。在這種情況下，我們有一個 窄帶調頻波 ，其帶寬為 BW ≈ 2fm。

示例 1：確定調頻波的帶寬

考慮一個 2 kHz 的載波，它被一個 150 Hz 的正弦信號調頻。峰值頻率偏移 (Δf) 是 20 Hz。這個調頻波的近似帶寬是多少？對于 fm = 150 Hz 和 Δf = 20 Hz，我們有：

公式10。

這是一個窄帶調頻信號。應用卡森法則，我們得到帶寬：

$$\approx +=+=$$

公式 11。

這接近于我們從窄帶調頻分析中預期的 2fm = 300 Hz 的值。

圖 4 展示了通過快速傅里葉變換（FFT）對信號進行處理后，在載波頻率附近的已調信號頻譜。 

圖 4. 對于Δf = 20 Hz，fm = 150 Hz 和β = 0.133 的調頻波頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

注意，光標框中旁瓣分量的幅度與 J1(0.133) = 0.0665 的值一致。

讓我們再用 fm = 2 Hz 和Δf = 50 Hz 重復這個練習。那么帶寬會是多少？

當 fm = 2 Hz 且 Δf = 50 Hz 時，我們得到 β = 25。應用卡森公式，帶寬的估計值為：

$$\approx +=+=$$

公式12。

此情況下的模擬輸出頻譜顯示在圖5中，該圖顯示的帶寬與卡森公式一致。

圖 5。 對于 Δf = 50 Hz、fm = 2 Hz 和 β = 25 的調頻波頻譜。圖片由 Steve Arar 提供

調頻帶寬 對于任意消息信號

在上述討論中，我們使用貝塞爾函數表驗證了調頻信號的卡森規則。一個單音調制的調頻波并不能準確地反映現實世界中的情況。通常，消息信號包含各種頻率。

對于任意消息信號，沒有直接的公式來確定調頻頻譜。然而，在確定調頻波的帶寬時，可以將單音調制的調頻分析結果推廣到非正弦調制信號。在這種情況下，我們定義頻偏比（D）為最大頻率偏移（Δf）除以消息信號中存在的最大調制頻率（W）：

公式13

拋離比類似于調幅信號的調制指數。將β替換為 D，我們可以確定顯著邊帶分量(nmax)的數量，并使用以下公式估計所需帶寬：

$$=$$

公式14。

在這種情況下，我們知道 nmax 取決于 D。我們不必使用曲線和表格來確定 nmax，而是可以通過將β替換為 D 并將 fm 替換為 W 來應用卡森規則：

$$=+=+$$

公式15。

實際上，當我們處理帶限且具有有限功率的一般調制信號時，我們通常使用卡森規則作為估計 FM 帶寬的一種便捷方法。

示例 2：廣播 FM 電臺的帶寬

美國聯邦通信委員會（FCC）允許商業調頻廣播的頻率偏移為 Δf = 75 kHz。最高音頻頻率通常假定為 W = 15 kHz，從而得到偏移率：

公式16。

應用卡森規則，調頻信號帶寬為：

$$=+=+\times =$$

公式17。

實際上，廣播調頻頻道寬度為 200 kHz，這略大于上述估計值。其目的是降低接收機的選擇性要求。

總結

調頻波傳輸中顯著旁瓣的數量取決于預期應用和保真度要求。有幾種方法用于確定調頻波傳輸所需的帶寬。特別是，卡森規則是一種方便的估計方法，能提供合理的精度。