在這篇文章中，我們將探討相位調制（PM）和頻率調制（FM）之間的數學關系。然后，我們將學習如何使用PM調制器來生成FM信號，反之亦然。

角度調制技術分為兩類：相位調制（PM）和頻率調制（FM）。本系列的前一篇文章介紹了相位調制，并提供了幾個示例波形，以幫助我們理解消息信號如何影響PM波。現在，當我們從更數學的角度繼續討論時，我們將把重點擴大到包括頻率調制。

使用瞬時頻率的概念，我們將創建這兩種信號類型的數學表示。這反過來將有助于我們探索兩種角度調制形式之間的關系。正如我們將要發現的，PM和FM方法是如此密切相關，以至于加入一個額外的電路可以使一種類型的調制器產生另一種類型信號。

PM波：相位與頻率的關系

角度調制信號可以表征為具有恒定幅度和根據所傳輸的消息信號而變化的自變量（θi）的正弦函數：

方程式1

我們將θi稱為瞬時角度或瞬時相位。在PM中，瞬時角度隨消息信號線性變化，產生：

方程式2

其中：

fc是載波頻率

kp是比例常數

m（t）是消息信號。

圖1顯示了載波頻率fc=80 Hz和恒定值kp=25 rad/V的正弦消息信號產生的PM波。

正弦消息信號及其相應的相位調制波。

圖1 正弦消息信號（頂部）及其對應的PM波（底部）

如上所述，消息波形的下降部分導致輸出頻率降低，而上升部分則增加了輸出頻率。前一篇文章提供了幾個例子來演示消息信號的上升或下降部分如何影響PM波的頻率。

關于這一現象的另一種觀點是，當消息信號隨時間增加時，它會在2πfct貢獻的相位項上增加一個遞增項（見方程2）。因此，調制波的相位更快地完成了一個完整的周期。這表現為頻率的增加。換句話說，PM波在m（t）的正斜率期間壓縮。

相反，當消息信號隨時間減少時，它會產生負相位變化，抵消2πfct項引起的部分正相位變化。這意味著調制波需要更長的時間來完成一個完整的周期，從而導致頻率降低。換句話說，PM波形在m（t）的負斜率期間伸展。

為了更好地理解這一解釋，考慮以下fc=100 Hz的正弦函數：

方程式3

其中?（t）是相加的相位偏差。圖2顯示了?（t）三種不同條件下該正弦曲線的四分之一周期：

?（t）=0

?（t）=90-100t

?（t）=90+100t

對于三種不同的相位偏差條件，由方程3描述的波的四分之一周期。

圖2 對于?（t）的三種不同條件，方程3描述的波的四分之一周期

在上圖中，藍色曲線（?（t）=0）表示未調制波。對于藍色曲線，四分之一的周期跨越0到2.5毫秒的間隔。

紅色曲線（?（t）=90+100t）表示PM波，其中消息信號隨時間增長。在這種情況下，?（t）的正相變與2πfct項的正相變相加。因此，超過四分之一的時間段在0到2.5ms的間隔內。

最后，綠色曲線（?（t）=90-100t）表示相位項遞減的PM波。?（t）的負相變抵消了2πfct項的部分正相變。結果，不到四分之一的波形適合在0到2.5ms的間隔內。

2 瞬時頻率

頻率為fc、振幅為Ac、初始相位為?0的未調制信號可以用以2πfc恒定角速度旋轉的相量來表示。如圖3（a）所示。如圖3（b）所示，角度調制信號充當振幅為Ac的相量，以隨時間變化的角速度旋轉。

未調制和角度調制信號的相量表示。

圖3未調制信號（a）和角度調制信號（b）的相量表示

讓我們仔細看看角度調制波。我們如何描述它的旋轉頻率？當θi變化2π弧度時，相應的相量完成了一個完整的旋轉周期。因此，從t到（t+Δt）的間隔內的平均頻率（赫茲）可以通過以下公式獲得：

方程式4

在頻率為fc、初始相位為?0的未調制載波的特殊情況下，上述方程產生：

方程式5

如圖所示，未調制載波的平均頻率等于fc。對于角度調制信號，平均頻率取決于消息信號在感興趣的時間間隔內的值。然而，如果我們讓方程4中的Δt接近零，則獲得的頻率可以解釋為旋轉相量的瞬時頻率fi（t）。對于Δt→ 0,方程可以用θi的時間導數重寫：

方程式6

使用上述方程，相應相量的角速度等于2πfi（t）rad/s。

通過應用瞬時頻率的概念，我們可以解釋圖1中PM波的行為。如果我們將方程2中的θi代入瞬時頻率方程，我們得到：

方程式7

這意味著，隨著消息信號隨時間增加，輸出頻率也會升高。相反，隨著消息信號的減少，輸出頻率下降。

3 表示PM和FM信號

現在我們了解了瞬時相位和瞬時頻率的基礎知識，我們可以用它們來提供PM和FM方案的統一描述。將瞬時相位寫成：

方程式8

其中?（t）是相位偏差，我們可以將方程1描述的角度調制波表示如下：

方程式9

這表明瞬時相位是由項2πfct和?（t）設置的中心值之和。在兩種角度調制形式中，?（t）取決于消息信號。對于PM，?（t）與消息信號成正比：

方程式10

其中kp是比例常數。假設m（t）是一個電壓量，kp以弧度/伏特表示。

由方程9描述的調制波的瞬時頻率是通過求瞬時相位的導數來確定的：

方程式11

瞬時頻率中與消息相關的部分稱為頻率偏差：

方程式12

在調頻系統中，頻率偏差與信息信號成正比：

方程式13

其中kf是頻率偏差常數。假設m（t）是一個電壓量，kf以赫茲/伏特表示。

取上述方程的積分，我們可以確定?（t）并將其代入方程8，得出FM信號方程：

方程式14

請注意，由于積分，常數通常會出現在上述方程中。然而，我們假設在t=0時，未調制波的角度為零。這消除了常數。

當我們討論常數時，值得一提的是，比例常數（kp）有幾個不同的名稱。根據您咨詢的參考文獻，您可能會發現kp被描述為相位偏差常數、調制器的相位靈敏度、相位調制指數，或者簡稱為調制指數。同樣，kf——頻率偏差常數——有時也被稱為調制器的頻率靈敏度。

4 FM與PM的關系

如果我們在FM和PM調制器的輸入之間建立特定的關系，它們可以產生相同的輸出。為了理解這一點，請考慮下面再現的PM信號方程旁邊的方程14：

方程式15

根據方程式14和15，這兩種方法需要以下關系才能產生相同的輸出：

方程式16

其中：

mf（t）是施加到FM調制器的輸入

mp（t）是施加到PM調制器的輸入。

從方程16中，我們可以看出，如果mp（t）是mf（t）的積分，則PM和FM電路產生相同的輸出。簡而言之，如果我們在相位調制器的輸入端放置一個積分器，我們就可以用它來產生FM信號。此設置如圖4所示。

使用相位調制器產生FM波。 

圖4 使用相位調制器產生FM波

方程式16還表明，如果施加到FM調制器的信號等于施加到PM調制器的信號的導數，則兩種類型的調制器產生相同的輸出。這意味著，如果我們在將消息信號用作FM調制器的輸入之前對其進行微分，則可以使用FM調制器來生成PM信號（圖5）。

通過使用FM調制器產生PM波。

圖5 通過使用FM調制器產生PM波

例如，考慮圖6左上角所示的方波消息m（t）。

左：方波信號及其對應的調頻波。右圖：鋸齒波信息信號及其對應的PM波。

圖6 左上角：方波信息信號。左下角：對應的FM波。右上角：未調制的鋸齒波。右下角：對應的PM波

該圖左下象限顯示了與方波消息對應的FM波（fc=5 Hz，kf=1.59 Hz/V）。該圖右上象限顯示了鋸齒波；右下象限顯示kp=10 rad/V時的PM波。

并排放置時，兩個調制波看起來完全相同。由于方波的積分會產生鋸齒信號，這并不奇怪。

總結

在這篇文章中，我們通過引入數學視角，加深了對角度調制（PM和FM）的理解。我們深入研究了瞬時頻率的概念，并利用這一概念研究了PM和FM方法之間的密切關系。我希望這篇文章能幫助您更深入地了解這些調制方法及其產生的信號的時域行為。